Waarheidstabel
Een waarheidstabel of waarheidstafel is een wiskundige tabel die in het begin van de 20e eeuw werd ontwikkeld door Emil Leon Post. De tabel wordt in de logica, en dan met name in de propositielogica, gebruikt om te beslissen of een logische uitdrukking al dan niet waar is en of een argument al dan niet valide is. Waarheidstabellen kunnen worden gebruikt om de waarheidwaarden weer te geven van logische operatoren (zoals "en", "of", "niet" en "als...dan") bij alle combinaties van waarden.
In waarheidstabellen kan men de waarheid of onwaarheid van een propositie op verschillende manieren aanduiden. Een manier is om simpelweg "waar" of "onwaar" te schrijven maar men gebruikt meestal een T voor true (Engels voor waar) en F voor false (onwaar). Ook gebruikt men de 1 voor waar en 0 voor onwaar.
Een nadeel van waarheidstabellen is dat bij samengestelde proposities met veel variabelen de tabel al vrij snel te groot wordt. De grootte van de tabel groeit exponentieel in het aantal variabelen: zo heeft een tabel met 8 variabelen (A, B, C t/m H) 28 rijen. Een alternatief voor de waarheidstabel is het Karnaugh-diagram. Een andere manier om een stelling te onderzoeken is met behulp van een semantisch tableau.
Unaire operaties
Unaire operaties hebben een argument waarmee er vier mogelijkheden zijn:
Logisch waar
Logisch waar is onafhankelijk van het argument altijd waar:
| p | T |
|---|---|
| T | T |
| F | T |
Logisch onwaar
Logisch onwaar is onafhankelijk van het argument altijd onwaar:
| p | F |
|---|---|
| T | F |
| F | F |
Logische identiteit
Bij de logische identiteit is de teruggegeven waarde altijd gelijk aan de waarde van het argument.
| p | p |
|---|---|
| T | T |
| F | F |
Logische negatie (NOT)
Bij de negatie (¬) is de teruggegeven waarde altijd het tegengestelde van de waarde van het argument. Men spreekt (¬ P) uit als "niet P".
| p | ¬p |
|---|---|
| T | F |
| F | T |
Binaire operaties
Binaire operaties hebben twee argumenten, waarmee er zestien mogelijkheden zijn.
Logische conjunctie (AND)
Een logische conjunctie is een logische operator die dan en slechts dan waar is als beide operanden waar zijn.
| p | q | p ∧ q | |
|---|---|---|---|
| T | T | T | |
| T | F | F | |
| F | T | F | |
| F | F | F |
Logische disjunctie (OR)
Bij een logische disjunctie is een logische operator die dan en slechts dan waar is als een van beide operanden waar is.
| p | q | p ∨ q | |
|---|---|---|---|
| T | T | T | |
| T | F | T | |
| F | T | T | |
| F | F | F |
Exclusieve disjunctie (XOR)
Bij de exclusieve disjunctie is de teruggegeven waarde T als exact een van beide argumenten waar is.
| p | q | p ⊕ q | |
|---|---|---|---|
| T | T | F | |
| T | F | T | |
| F | T | T | |
| F | F | F |
Logische implicatie (if/then)
Bij de logische implicatie is de teruggegeven waarde enkel T als het eerste argument F is, of als beide argumenten T zijn.
| p | q | p → q | |
|---|---|---|---|
| T | T | T | |
| T | F | F | |
| F | T | T | |
| F | F | T |
Logische equivalentie (XNOR)
Bij de logische equivalentie is de teruggegeven waarde T als beide argumenten dezelfde waarde hebben: "NOT XOR".
| p | q | p ↔ q | |
|---|---|---|---|
| T | T | T | |
| T | F | F | |
| F | T | F | |
| F | F | T |
Logische NOR
Bij de logische NOR is de teruggegeven waarde T als beide argumenten niet waar zijn. Het is een combinatie van NOT en OR: "NOT OR".
| p | q | p ↓ q | |
|---|---|---|---|
| T | T | F | |
| T | F | F | |
| F | T | F | |
| F | F | T |
Logische NAND
Bij de logische NAND is de teruggegeven waarde T als niet beide argumenten waar zijn. Het is een combinatie van NOT en AND: "NOT AND".
| p | q | p ↑ q | |
|---|---|---|---|
| T | T | F | |
| T | F | T | |
| F | T | T | |
| F | F | T |
(then/if)
Bij de omgekeerde logische implicatie is de teruggegeven waarde enkel T als het tweede argument F is, of als beide argumenten T zijn.
| p | q | q → p | |
|---|---|---|---|
| T | T | T | |
| T | F | T | |
| F | T | F | |
| F | F | T |
↛
De teruggegeven waarde is uitsluitend T als het eerste argument niet het tweede argument impliceert, dus het eerste argument is waar en het tweede argument is onwaar.
| p | q | p ∧ ¬q | |
|---|---|---|---|
| T | T | F | |
| T | F | T | |
| F | T | F | |
| F | F | F |
Xq
De teruggegeven waarde is T als het tweede argument waar is, mits het eerste argument onwaar is.
| p | q | ¬p ∧ q | |
|---|---|---|---|
| T | T | F | |
| T | F | F | |
| F | T | T | |
| F | F | F |
Projectie eerste argument
De teruggegeven waarde is de waarde van het eerste argument.
| p | q | p | |
|---|---|---|---|
| T | T | T | |
| T | F | T | |
| F | T | F | |
| F | F | F |
Projectie tweede argument
De teruggegeven waarde is de waarde van het tweede argument.
| p | q | q | |
|---|---|---|---|
| T | T | T | |
| T | F | F | |
| F | T | T | |
| F | F | F |
¬p
Bij deze negatie (¬) is de teruggegeven waarde het tegengestelde van de waarde van het eerste argument.
| p | q | ¬p | |
|---|---|---|---|
| T | T | F | |
| T | F | F | |
| F | T | T | |
| F | F | T |
¬q
Bij deze negatie (¬) is de teruggegeven waarde het tegengestelde van de waarde van het tweede argument.
| p | q | ¬q | |
|---|---|---|---|
| T | T | F | |
| T | F | T | |
| F | T | F | |
| F | F | T |
Tautologie (T)
Bij een tautologie is de teruggegeven waarde T altijd waar.
| p | q | p ⊤ q | |
|---|---|---|---|
| T | T | T | |
| T | F | T | |
| F | T | T | |
| F | F | T |
Contradictie (F)
Bij een contradictie is de teruggegeven waarde altijd onwaar (F).
| p | q | p ⊥ q | |
|---|---|---|---|
| T | T | F | |
| T | F | F | |
| F | T | F | |
| F | F | F |
Alle operaties
| p | q | F | NOR | Xq | ¬p | ↛ | ¬q | XOR | NAND | AND | XNOR | q | if/then | p | then/if | OR | T | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | F | F | F | F | F | F | T | T | T | T | T | T | T | T | |
| T | F | F | F | F | F | T | T | T | T | F | F | F | F | T | T | T | T | |
| F | T | F | F | T | T | F | F | T | T | F | F | T | T | F | F | T | T | |
| F | F | F | T | F | T | F | T | F | T | F | T | F | T | F | T | F | T |