Veelhoeksgetal
Een veelhoeksgetal is een getal dat het aantal stippen is van een figuur met in een hoekpunt geneste regelmatige veelhoeken. In de oudheid ontdekte men dat getallen waren weer te geven door een aantal figuurtjes zoals rijstkorrels of zaden te rangschikken in een figuur, dit noemt men figuratieve getallen. De veelhoeksgetallen zijn daar een voorbeeld van. De bekendste soorten veelhoeksgetallen zijn de driehoeksgetallen en kwadraatgetallen.
Voor een groter aantal hoeken moet men bedenken dat de veelhoeken één gezamenlijk hoekpunt hebben en dat vanuit dat hoekpunt de zijden in dezelfde richting samenvallen. Veelhoeksgetallen met in een hoekpunt geneste veelhoeken en gecentreerde veelhoeksgetallen voor dezelfde veelhoek zijn niet hetzelfde. Het is daarom zinvol verschil tussen kwadraat en kwadraatgetal te maken.
De volgende figuur is een voorbeeld van zeshoeksgetallen:
1 | 6 | 15 | 28 | |||
---|---|---|---|---|---|---|
|
|
Als het aantal zijden is van een veelhoek, dan is de formule voor het e -hoeksgetal gegeven door
Elk veelhoeksgetal is ook uit te drukken in de driehoeksgetallen , namelijk
Een tabel met de eerste veelhoeksgetallen is:
Naam | Formule | n | OEIS | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |||
driehoeksgetal | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | 28 | 36 | rij A000217 in OEIS | |
kwadraat | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | rij A000290 in OEIS | |
vijfhoeksgetal | 1 | 5 | 12 | 22 | 35 | 51 | 70 | 92 | rij A000326 in OEIS | |
zeshoeksgetal | 1 | 6 | 15 | 28 | 45 | 66 | 91 | 120 | rij A000384 in OEIS | |
heptagonaal getal | 1 | 7 | 18 | 34 | 55 | 81 | 112 | 148 | rij A000566 in OEIS | |
achthoeksgetal | 1 | 8 | 21 | 40 | 65 | 96 | 133 | 176 | rij A000567 in OEIS | |
negenhoeksgetal | 1 | 9 | 24 | 46 | 75 | 111 | 154 | 204 | rij A001106 in OEIS | |
10-hoeksgetal | 1 | 10 | 27 | 52 | 85 | 126 | 175 | 232 | rij A001107 in OEIS | |
11-hoeksgetal | 1 | 11 | 30 | 58 | 95 | 141 | 196 | 260 | rij A051682 in OEIS | |
12-hoeksgetal | 1 | 12 | 33 | 64 | 105 | 156 | 217 | 288 | rij A051624 in OEIS |
Veelhoeksgetallen en gecentreerde veelhoeksgetallen
Er is een verschil tussen de veelhoeksgetallen gedefinieerd vanuit een hoekpunt en gecentreerde veelhoeksgetallen. De gelijkvormige veelhoeken, steeds met een zijde één groter, die een veelhoeksgetal samenstellen, hebben één gezamenlijk hoekpunt. Alle veelhoeken hierin met zijden van minimaal één delen bovendien voor een deel de beide zijden, die aan dit hoekpunt liggen.
De verschillende veelhoeken, die een gecentreerd veelhoeksgetal samenstellen, hebben geen punten hetzelfde.
Als het aantal zijden is van een veelhoek, dan is de formule voor het gecentreerde e -hoeksgetal gegeven door
- 22 is het vierde vijfhoeksgetal.
- 31 is het vierde gecentreerde vijfhoeksgetal.
Een tabel met de eerste gecentreerde veelhoeksgetallen is:
Naam | Formule | n | OEIS | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |||
gecentreerd driehoeksgetal | 1 | 4 | 10 | 19 | 31 | 46 | 64 | 85 | rij A005448 in OEIS | |
gecentreerd vierhoeksgetal | 1 | 5 | 13 | 25 | 41 | 61 | 85 | 113 | rij A001844 in OEIS | |
gecentreerd vijfhoeksgetal | 1 | 6 | 16 | 31 | 51 | 76 | 106 | 141 | rij A005891 in OEIS | |
gecentreerd zeshoeksgetal | 1 | 7 | 19 | 37 | 61 | 91 | 127 | 169 | rij A003215 in OEIS | |
gecentreerd zevenhoeksgetal | 1 | 8 | 22 | 43 | 71 | 106 | 148 | 197 | rij A069099 in OEIS | |
gecentreerd achthoeksgetal | 1 | 9 | 25 | 49 | 81 | 121 | 169 | 225 | rij A016754 in OEIS | |
gecentreerd negenhoeksgetal | 1 | 10 | 28 | 55 | 91 | 136 | 190 | 253 | rij A060544 in OEIS | |
gecentreerd 10-hoeksgetal | 1 | 11 | 31 | 61 | 101 | 151 | 211 | 281 | rij A062786 in OEIS | |
gecentreerd 11-hoeksgetal | 1 | 12 | 34 | 67 | 111 | 166 | 232 | 309 | rij A069125 in OEIS | |
gecentreerd 12-hoeksgetal | 1 | 13 | 37 | 73 | 121 | 181 | 253 | 337 | rij A003154 in OEIS |
Externe links
- rij A086270 in OEIS. veelhoeksgetallen
- (en) MathWorld. Polygonal Number.