Gecentreerd veelhoeksgetal

Een gecentreerd veelhoeksgetal is een getal dat het aantal stippen is van een figuur, die uit dezelfde regelmatige veelhoeken is opgebouwd met zijden die steeds een stip groter worden. De steeds groter wordende regelmatige veelhoeken hebben hetzelfde middelpunt. De verschillende veelhoeken, die een gecentreerd veelhoeksgetal samenstellen, hebben geen punten hetzelfde.

Er is een verschil tussen de gecentreerde veelhoeksgetallen en veelhoeksgetallen gedefinieerd vanuit een hoekpunt. Gecentreerde veelhoeksgetallen en veelhoeksgetallen met in een hoekpunt geneste veelhoeken voor dezelfde veelhoek zijn niet hetzelfde. Het is daarom zinvol verschil tussen kwadraat en kwadraatgetal te maken.

Als ${\displaystyle z}$ het aantal zijden is van een veelhoek, dan is de formule voor het gecentreerde ${\displaystyle n}$e ${\displaystyle z}$-hoeksgetal gegeven door

${\displaystyle C_{z}(n)={\tfrac {1}{2}}z\cdot n^{2}-{\tfrac {1}{2}}z\cdot n+1={\tfrac {1}{2}}n(z\cdot n-z)+1}$

De gecentreerde achthoeksgetallen zijn de oneven getallen in het kwadraat, dus de oneven kwadraten. Alle even perfecte getallen groter dan 6 zijn een gecentreerd negenhoeksgetal.

• 
  22 is het vierde vijfhoeksgetal.
• 
  31 is het vierde gecentreerde vijfhoeksgetal.

Een tabel met de eerste gecentreerde veelhoeksgetallen is:

Naam	Formule	n								OEIS
		1	2	3	4	5	6	7	8
gecentreerd driehoeksgetal	${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}n(n-1)+1}$	1	4	10	19	31	46	64	85	rij A005448 in OEIS
gecentreerd vierhoeksgetal	${\displaystyle 2n(n-1)+1}$	1	5	13	25	41	61	85	113	rij A001844 in OEIS
gecentreerd vijfhoeksgetal	${\displaystyle {\tfrac {5}{2}}n(n-1)+1}$	1	6	16	31	51	76	106	141	rij A005891 in OEIS
gecentreerd zeshoeksgetal	${\displaystyle 3n(n-1)+1}$	1	7	19	37	61	91	127	169	rij A003215 in OEIS
gecentreerd zevenhoeksgetal	${\displaystyle {\tfrac {7}{2}}n(n-1)+1}$	1	8	22	43	71	106	148	197	rij A069099 in OEIS
gecentreerd achthoeksgetal	${\displaystyle (2n-1)^{2}}$	1	9	25	49	81	121	169	225	rij A016754 in OEIS
gecentreerd negenhoeksgetal	${\displaystyle {\tfrac {9}{2}}n(n-1)+1}$	1	10	28	55	91	136	190	253	rij A060544 in OEIS
gecentreerd 10-hoeksgetal	${\displaystyle 5n(n-1)+1}$	1	11	31	61	101	151	211	281	rij A062786 in OEIS
gecentreerd 11-hoeksgetal	${\displaystyle {\tfrac {11}{2}}n(n-1)+1}$	1	12	34	67	111	166	232	309	rij A069125 in OEIS
gecentreerd 12-hoeksgetal	${\displaystyle 6n(n-1)+1}$	1	13	37	73	121	181	253	337	rij A003154 in OEIS

• (en) MathWorld. Centered Polygonal Number.