Vectorprojectie

Vectorprojectie is de (loodrechte) projectie in een euclidische ruimte van een vector op een andere.

Voor vectoren ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$ in een euclidische ruimte is de (loodrechte) projectie van ${\displaystyle x}$ op ${\displaystyle y}$ de vector:

${\displaystyle {\frac {\langle x,y\rangle }{\langle y,y\rangle }}\,y=\langle x,e_{y}\rangle e_{y}}$

Daarin is ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ het standaardinproduct en ${\displaystyle e_{y}=y/\|y\|}$ de eenheidsvector in de richting van ${\displaystyle y}$.

Het verschil van ${\displaystyle x}$ en z'n projectie op ${\displaystyle y}$,

${\displaystyle x-{\frac {\langle x,y\rangle }{\langle y,y\rangle }}\,y}$,

is een vector loodrecht op ${\displaystyle y}$; immers:

${\displaystyle \langle x-{\frac {\langle x,y\rangle }{\langle y,y\rangle }}\,y,y\rangle =\langle x,y\rangle -\langle {\frac {\langle x,y\rangle }{\langle y,y\rangle }}\,y,y\rangle =\langle x,y\rangle -{\frac {\langle x,y\rangle }{\langle y,y\rangle }}\langle y,y\rangle =0}$