Systematische kwalitatieve vergelijkende analyse

Voorafgaand aan het toepassen van de booleaanse technieken moet worden vastgesteld wat de casussen zijn en wat daarin de bepalende factoren zijn. Dit vergt een theoretisch proces waarbij een of meerdere hypotheses gebruikt kunnen worden.

Van daaruit wordt een waarheidstabel opgesteld waarbij voor de verschillende casussen voor de bepalende factoren en de uitkomst waarheidswaardes worden ingevuld. In zijn meest eenvoudige vorm zijn die waardes voor onafhankelijke en afhankelijke variabelen waar of 1 en onwaar of 0. In het geval van een waarheidstabel met vier condities zoals hiernaast zijn er 2³ = 8 mogelijke combinaties van condities.

Achter deze onafhankelijke variabelen wordt dan de afhankelijke variabele geplaatst. Dit kan problematisch zijn als er bij die combinaties van condities een gelijk aantal uitkomsten waar en onwaar zijn. Het aantal daarachter hoeft niet toegevoegd te worden, maar geeft aan dat elke rij een optelsom van casussen is.

Vervolgens kan een vereenvoudiging van de tabel beginnen met booleaanse optelling (OR) en booleaanse vermenigvuldiging (AND). Daarbij geeft een hoofdletter aan dat een conditie waar is en een kleine letter dat deze onwaar is. Omdat de uitkomst van casus 1 onwaar is, wordt de optelling dan:

F = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8

Als daarna de condities hierin vermenigvuldigd worden, dan volgt de primitieve (niet-gereduceerde) vergelijking:

F = Abc + aBc + abC + ABc + AbC + aBC + ABC

In dit geval is van alle mogelijke logische combinaties informatie beschikbaar, maar dat is niet altijd zo, ook omdat een experimentele opzet in de sociale wetenschappen veelal niet mogelijk is. Uit de eerste vier rijen in de waarheidstabel zou de conclusie getrokken kunnen worden dat de aanwezigheid van elke enkele conditie een voldoende voorwaarde is. De afwezigheid van een conditie heeft in booleaanse analyse echter hetzelfde gewicht als de aanwezigheid daarvan. Zo zou bemoeienis van de CIA tot gevolg kunnen hebben dat de oudere en jongere officieren hun geschil bijleggen om de dreiging van buiten te weerstaan. In dat geval zouden ABC + AbC niet tot omverwerping leiden, hoewel de enkele voorwaarden zonder de ander voldoende voorwaarde waren.

De primitieve vergelijking is een complexe manier om een complexe situatie te beschrijven. Deze vergelijking kan echter vereenvoudigd worden aan de hand van enkele reductieregels. Zo kan bij twee uitdrukkingen die hetzelfde resultaat opleveren waarbij slechts een conditie verschilt, die conditie als irrelevant beschouwd worden. Door deze te verwijderen ontstaat een eenvoudigere gecombineerde uitdrukking. Zo kunnen de rijen met een enkele oorzaak gecombineerd worden met de rijen met twee oorzaken:

Abc met ABc wordt Ac

Abc met AbC wordt Ab

aBc met ABc wordt Bc

aBc met aBC wordt aB

abC met AbC wordt bC

abC met aBC wordt aC

De rijen met twee oorzaken kunnen gecombineerd worden met de rij met drie oorzaken:

ABc met ABC wordt AB

AbC met ABC wordt AC

aBC met ABC wordt BC

Dit kan verder gereduceerd worden tot:

Ac met AC wordt A

Ab met AB wordt A

Bc met BC wordt B

aB met AB wordt B

bC met BC wordt C

aC met AC wordt C

De uiteindelijke gereduceerde uitdrukking wordt dan:

F = A + B + C

In dit geval was dit al vrij duidelijk uit de waarheidstabel, maar bij meer gecompliceerde uitdrukkingen is dat niet zonder meer het geval.

Logische implicatie kan ook gebruikt worden om een primitieve uitdrukking te minimaliseren. Implicatie houdt in dat de tweede term deel uitmaakt van de eerste term. Als bijvoorbeeld A staat voor economisch afhankelijke landen, B voor de aanwezigheid van zware industrie en C voor centraal gecoördineerde economieën, dan staat Abc voor alle afhankelijke landen die niet over zowel centraal gecoördineerde economieën als zware industrie beschikken. Abc maakt deel uit van alle afhankelijke landen A en impliceert dus Abc.

Voor succesvolle stakingen zoals gegeven in de waarheidstabel hiernaast is de primitieve uitdrukking:

S = AbC + aBc + ABc + ABC

De eerste minimalisering is dan:

ABC met AbC wordt AC

ABC met ABc wordt AB

ABc met aBc wordt Bc

S = AC + AB + Bc

Deze hoofdimplicanten kunnen elkaar nog echter overlappen. Om dit te achterhalen, kunnen de hoofdimplicanten uitgezet worden in een matrix met de primitieve uitdrukkingen:

Hieruit blijkt dat alle vier primitieve uitdrukkingen al worden uitgedrukt met:

S = AC + Bc

Deze laatste stap maakt de uitdrukking minimaal, maar is niet altijd gewenst. Als een onderzoek zich toespitst op AB – succesvolle stakingen in een groeiende productmarkt in combinatie met de dreiging van steunstakingen – dan kan dit reden zijn om niet zover te minimaliseren. Juist deze overdeterminering kan dan reden zijn om hier meer aandacht aan te besteden.

Er zijn verschillende methodes om deze vereenvoudiging uit te voeren. Het Karnaugh-diagram is een visuele methode, terwijl het Quine-McCluskey-algoritme bewerkelijker is, maar beter toepasbaar voor veel condities. Met de methode van Petrick kan de matrix met hoofdimplicanten geminimaliseerd worden.

Niet alleen de positieve uitkomsten, maar ook de negatieve kunnen worden geanalyseerd. Hiervoor hoeft niet opnieuw een waarheidstabel te worden gemaakt, maar kunnen de wetten van De Morgan worden toegepast op de positieve uitkomst. Condities die daarin aanwezig waren, worden nu afwezig gecodeerd en andersom. Daarnaast wordt van de logische AND een logische OR gemaakt en andersom. In het geval van de succesvolle stakingen wordt S = AC + Bc dan:

s = (a + c) (b + C)

s = ab + aC + bc

In tegenstelling tot statistische analyses is bij booleaanse analyse eenvoudig vast te stellen welke voorwaarden noodzakelijke zijn en welke voldoende. Mogelijke combinaties van voldoende en noodzakelijk zijn:

Factorisatie of het ontbinden in factoren kan duidelijk maken welke condities noodzakelijk zijn en welke condities equivalent zijn. Zo kan:

S = AB + AC + AD

ontbonden worden in:

S = A (B + C + D)

Hier is A een noodzakelijke conditie en zijn B, C en D in combinatie met A equivalent.

Het ontbinden van factoren kan een uitdrukking verhelderen, zelfs als deze bewerking de uitdrukking niet simpeler maakt. Zo kan:

S = abc + AbC + abd + E

ontbonden worden in:

S = a (bc + bd + E) + A (bC + E)

Hierin wordt duidelijk dat de context waarin A met andere condities optreedt een tegengesteld effect heeft.

In tegenstelling tot bij experimentele onderzoeken, komen in werkelijkheid niet alle mogelijke combinaties ook altijd voor. Zo zijn er geen landen in Zuid-Amerika die niet katholiek zijn. Dit geeft enerzijds waardevolle informatie over het verloop van de geschiedenis en onder meer de padafhankelijkheid daarin. Anderzijds beperkt het echter de mogelijkheid om causale verbanden te onderzoeken.

Zo is de primitieve uitdrukking van uitkomst van de waarheidstabel hiernaast:

F = abC + aBC + AbC

Wat na minimalisering wordt:

F = C

In dit geval mist echter data over de uitkomst van ABC. De mogelijkheid bestaat dat de gelijktijdige aanwezigheid van etnische ongelijkheid en een gecentraliseerde overheid juist voorkomt dat de erosie van etnische instellingen tot gevolg heeft dat er etnische politieke partij gevormd worden. Dan zou de uitdrukking er uitzien als:

F = aC + bC

De mate van diversiteit kan uitgedrukt worden door niet de uitkomst, maar de aanwezigheid van combinaties uit te drukken. In het geval van de tabel over het ontstaan van etnische politieke partijen wordt dit:

F = a + b

Alle bestaande combinaties gaan dus gepaard met de afwezigheid van etnische ongelijkheid en/ of erosie van etnische instellingen. Hoe kleiner het aantal hoofdimplicanten, hoe groter de diversiteit.

Met de wetten van De Morgan wordt dit:

f = AB

De niet-bestaande combinaties zijn dus etnische ongelijkheid in combinatie met de erosie van etnische instellingen. Met een booleaanse analyse kan zo duidelijker worden dat er sprake is van beperkte diversiteit dan veelal het geval is met statistische analyse.

Een complexer voorbeeld is de tabel hiernaast over oorzaken van boerenopstanden. Ook hier zijn niet alle mogelijke combinaties van oorzaken aanwezig. Voor de uitwerking van de minimale uitdrukking van uitkomsten R, kan al een uitdrukking van aanwezigheid P gemaakt worden:

P = abcd + abcD + abCD + aBcd + aBcD + aBCD + Abcd + AbCd + ABcD + ABCD

Met verschillende stappen voor minimalisering kan dit teruggebracht worden tot:

P = ac + aD + BD + Abd

Er zijn dus volgens deze tabel vier basisvormen van boerensamenlevingen:

• geen boerentraditionalisme en geen middelgrote boeren
• geen boerentraditionalisme en geen landadel
• commercialisering van landbouw en middelgrote boeren
• boerentraditionalisme, geen commercialisering van landbouw en geen landadel

Van deze basistypes zijn in de tabel meerdere gemengde vormen te vinden.

Met de wetten van De Morgan kan ook worden aangegeven welke boerensamenlevingen volgens dit onderzoek niet bestaan en waar de latere analyse van causale verbanden dus niet voor opgaat:

p = ABd + aCd + AbD + BCd

Aanname van geen opstanden in niet-bestaande samenlevingen

Boerenopstanden zijn een deelverzameling van boerensamenlevingen. Door aan te nemen dat de niet bestaande basisvormen van boerensamenlevingen geen opstanden zouden ondervinden, kan de ? veranderd worden in een 0. De primitieve uitdrukking voor de uitkomst wordt:

R = abCD + aBCD + ABcD + ABCD

Na minimalisering wordt de uitdrukking:

R = aCD + ABD

Daarbij is aCD uit R een deelverzameling van aD uit P en ABD uit R een deelverzameling van BD uit P. Slechts twee van de vier basistypes van boerensamenlevingen ondervinden dus opstanden. Beide termen bevatten conditie D, zodat de afwezigheid van landadel een noodzakelijke conditie lijkt te zijn voor opstanden. De aanwezigheid van boerentraditionalisme heeft in de twee samenlevingen echter juist een tegengesteld effect.

Aanname van opstanden in niet-bestaande samenlevingen

Door aan te nemen dat de niet bestaande basisvormen van boerensamenlevingen juist wel opstanden zouden ondervinden, wordt de uitdrukking voor de uitkomst:

R' = AB + CD

Dit is een superset van de eerdere deelverzameling R = aCD + ABD.

De aannames voor niet-bestaande uitkomsten maken expliciet de keuzes van de onderzoekers duidelijk, iets wat in casestudies veelal impliciet gedaan wordt en daarmee een punt van kritiek kan zijn.