Symmetrische functie

De afbeelding ${\displaystyle f:V^{n}\to W}$ gedefinieerd op het ${\displaystyle n}$-voudige cartesisch product van een verzameling ${\displaystyle V}$ heet symmetrisch, als voor alle ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}\in V}$ en permutaties ${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {S}}_{n}}$ van de getallen ${\displaystyle 1,\ldots ,n}$ geldt:

${\displaystyle f(v_{\sigma (1)},\ldots ,v_{\sigma (n)})=f(v_{1},\ldots ,v_{n})}$

Van een symmetrische functie in ${\displaystyle n}$ variabelen is dus de functiewaarde van elke ${\displaystyle n}$-tupel gelijk aan die van elke permutatie van die ${\displaystyle n}$-tupel.

De reële functie

${\displaystyle f(x,y,z)={{x+y+z} \over {xyz}}}$

is bijvoorbeeld symmetrisch. Het verwisselen van de variabelen verandert de uitkomst niet. Maar voor de functie

${\displaystyle f(x,y,z)=x+yz}$

is dat niet zo, want

${\displaystyle x+yz}$ en ${\displaystyle y+xz}$

zijn niet in alle omstandigheden gelijk.

• Symmetrische functies van een polynoom