Stellingen van Sylow

In de groepentheorie, een onderdeel van de wiskunde, geven de stellingen van Sylow informatie over bepaalde deelgroepen van eindige groepen.

Neem een eindige groep $G$ en een priemgetal $p$ . We noemen $p$ -deelgroep van $G$ elke deelgroep van $G$ waarvan de orde een macht is van $p$ . Een $p$ -Sylow-deelgroep van $G$ is een $p$ -deelgroep die maximaal is met die eigenschap, d.w.z. dat hij niet omvat wordt door een grotere $p$ -deelgroep van $G$ .

Als $p$ geen deler is van de orde van $G$ , dan volgt uit de stelling van Lagrange dat $G$ geen echte $p$ -deelgroep kan hebben.

Als $p$ wél de orde van $G$ deelt, dan geven de stellingen van Sylow informatie over de $p$ -Sylow-deelgroepen van $G$ .

De stellingen

Neem $G$ en $p$ zoals hierboven. Schrijf de orde van $G$ als een product $rp^{n}$ waarbij $n$ en $r$ natuurlijke getallen ( $n$ positief) zijn en $p$ geen deler meer is van $r$ .

Bestaan: $G$ heeft een $p$ -Sylow-deelgroep.
Conjugatie: De $p$ -Sylow-deelgroepen zijn precies elkaars geconjugeerden.
Aantal: Het aantal $p$ -Sylow-deelgroepen deelt $r$ en is congruent aan $1{\pmod {p}}$ .

Opmerkingen bij de stellingen

Er bestaan dus $p$ -Sylow-deelgroepen en ze zijn alle isomorf. Hun orde is in dit geval $p^{n}$ .
Een $p$ -Sylow-deelgroep is een normale deelgroep dan en slechts dan als het de enige $p$ -Sylow-deelgroep is.
De stelling van Cauchy geeft het bestaan van elementen met orde $p$ . Het bestaan van $p$ -Sylow-deelgroepen is een sterker resultaat.

Toepassingen

De stellingen kunnen worden gebruikt om informatie over de structuur van een eindige groep te verkrijgen. Bijvoorbeeld,

Er bestaat precies een groep van orde 15, namelijk de cyclische groep van die orde. Dit kan als volgt worden nagegaan. Zij $G$ een groep van orde 15. Door de congruentie- en delingseigenschap kunnen we besluiten dat $G$ een unieke 3-Sylow deelgroep heeft. Analoog kunnen we besluiten dat $G$ een unieke 5-Sylow deelgroep bevat. Deze deelgroepen zijn dan normale deelgroepen. Omdat hun ordes relatief priem zijn, moet $G$ de directe som van deze cyclische groepen zijn. Dit beëindigt het bewijs.

Een groep van orde $2\times 3^{4}$ is nooit enkelvoudig. Dit kan als volgt worden aangetoond. Een 3-Sylow-deelgroep is duidelijk een echte deelgroep. We tonen aan dat ze uniek is, en dus ook een (echte) normale deelgroep, wat het bewijs beëindigt. Het aantal 3-Sylow-deelgroepen $n^{3}$ is een deler van 2 en congruent aan 1 modulo 3. De enige oplossing voor dit stelsel is $n^{3}=1$ .

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.