Stelling van De Moivre-Laplace

Als de stochastische variabele ${\displaystyle X_{n}}$ binomiaal verdeeld is met parameters ${\displaystyle n}$ en ${\displaystyle p}$, geldt:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P\left({\frac {X_{n}-np}{\sqrt {np(1-p)}}}\leq x\right)=\Phi (x),}$

waarin ${\displaystyle \Phi }$ de verdelingsfunctie van de standaardnormale verdeling is.

Dit houdt in dat voor toenemende waarden van ${\displaystyle n}$ de verdeling van ${\displaystyle X_{n}}$ steeds dichter nadert tot een normale verdeling met verwachtingswaarde ${\displaystyle np}$ en variantie ${\displaystyle np(1-p)}$.

Als vuistregel hanteert men wel dat de benadering voldoende is voor waarden van ${\displaystyle n}$ en ${\displaystyle p}$, waarvoor zowel ${\displaystyle np>5}$ als ${\displaystyle n(1-p)>5}$.

Normale benadering van de binomiale verdeling met ${\displaystyle n=48}$ en ${\displaystyle p=1/4}$ door de normale verdeling met ${\displaystyle \mu =12}$ en ${\displaystyle \sigma =3}$

In de nevenstaande figuur zien we de binomiale verdeling met parameters ${\displaystyle n=48}$ en ${\displaystyle p=1/4}$ en de benaderende normale verdeling met ${\displaystyle \mu =12}$ en ${\displaystyle \sigma =3}$.