Resultante

Een resultante is de vectorsom van twee of meer vectoren die elk het gevolg of resultaat van dezelfde categorie of grootheid zijn. Vaak wordt, ter vereenvoudiging, één enkele virtuele oorzaak berekend die alle andere oorzaken kan vervangen. Een resultante dient niet verward te worden met het effect van de verschillende oorzaken, maar als een vervanging.

Als bijvoorbeeld meer dan één kracht inwerkt op één voorwerp, zal dat voorwerp als gevolg daarvan een effect ondervinden: het zal al of niet versnellen. Bij krachten die in één vlak liggen, kan dit voorgesteld worden als het effect van één virtuele kracht, de resultante, ingrijpend op een bepaald punt. Dit vormt dan een equivalente beschrijving voor de inwerkende krachten. Ook in de elektrotechniek kunnen verschillende stromen en spanningen op elkaar inwerken waar het uiteindelijke effect door slechts één spanning of stroom kan worden gerepresenteerd. In de elektrotechniek wordt dit equivalente schema beschreven door de stelling van Thévenin. Als bij wisselstroom vectoriële wiskunde wordt gebruikt, wordt meestal het woord resultante gebruikt, net zoals in de mechanica.

In het volledig algemene driedimensionale geval zal men voor een equivalente beschrijving een resultante, de som van alle krachten, en een resulterend moment t.o.v. een bepaald punt moeten invoeren. Zie hiervoor de link in de laatste alinea.

Mechanica
Bepaling van het aangrijpingspunt van de resultante van twee krachten (dikke rode lijnen). Dunne rode lijn: hulplijn voor het bepalen van lengte en richting van de resultante (dunne blauwe lijn); dikke blauwe lijn: de resultante op basis van het juiste, geconstrueerde aangrijpingspunt

In de mechanica kan een kracht worden voorgesteld door de grootte en de richting: wiskundig een vector. De grootte en richting van de resultante van twee krachten kan worden berekend als de som van de vectoren. In een tekening, waar de krachten worden voorgesteld als een pijl, kan dit worden geconstrueerd door het beginpunt van de tweede pijl te verbinden met het eindpunt van de eerste: de som is dan de pijl van het beginpunt van de eerste naar het eindpunt van de verschoven tweede pijl; zie ook parallellogramregel.

Aangrijpingspunt

De resultante van een aantal krachten die op een voorwerp werken, kan een verplaatsing veroorzaken, maar ook een rotatie van dat voorwerp. In alle gevallen zal het massamiddelpunt zo bewegen alsof de resultante daar aangrijpt. Als het aangrijpingspunt van de resultante niet in het massamiddelpunt ligt, mag men deze resultante alleen verplaatsen naar het massamiddelpunt mits er het moment aan toe voegen van de resultante in haar oorspronkeijke positie t.o.v. het massamiddelpunt. Dit moment, dat men ook kan voorstellen als veroorzaakt door een koppel van krachten, zal nog een rotatie veroorzaken.

Men kan de nood aan een bijkomend moment eenvoudig aantonen. Onderstel een kracht in een punt P. Men wil deze kracht verplaatsen naar het punt P' dat niet op de drager van die kracht ligt. Men kan dan in P' een kracht gelijk aan invoeren en het tegengestelde hiervan. Dit verandert niets aan de situatie want de som van deze 2 krachten is nul en ook hun moment is nul. Men kan deze 3 vectoren nu echter anders uitlezen, nl. de vector kan men zien als de verplaatste vector . De 2 resterende vectoren (in het groen op de figuur) vormen dan een koppel met een moment dat overeenkomt met het moment van in de originele positie ten opzichte van de nieuwe positie.


Edward Routh bedacht in 1893 een grafische oplossing voor de bepaling van het aangrijpingspunt van de resultante:

  1. bepaal het snijpunt van de twee vectoren;
  2. trek een cirkel door het gevonden snijpunt en de aangrijpingspunten van de twee vectoren;
  3. trek een lijn van het snijpunt (1) in de richting van de resultante en bepaal het (andere) snijpunt met de cirkel (2); dit punt is het aangrijpingspunt van de resultante.

Deze procedure kan worden herhaald als er meer dan twee krachten in het spel zijn: de resultante van drie krachten is dan de resultante van de resultante van de eerste twee krachten en de derde kracht.

In feite is deze constructie veel te ingewikkeld. Een kracht mag immers langs zijn drager verplaatst worden. Beide krachten kunnen dus naar het snijpunt van hun drager verplaatst worden, waar ook resultante aangrijpt.

Bij twee evenwijdige krachten werkt deze constructie niet. De locatie van het aangrijpingspunt wordt dan gegeven door:

Hierin is de lengte van de eerste vector, de lengte van de tweede vector, de afstand tussen de twee aangrijpingspunten en de afstand van het gezochte aangrijpingspunt gerekend vanaf het midden van de twee aangrijpingspunten in de richting van het aangrijpingspunt van de eerste vector.

Voor een meer algemene behandeling met meerdere evenwijdige krachten zie Equivalente vectorsystemen.[1]

Betekenis

Is de resultante met zijn aangrijpingspunt bekend, dan zal een even grote maar in richting tegengestelde kracht met dat aangrijpingspunt op de drager van de resultante de andere krachten precies opheffen zonder een resulterend moment.

Voor een algemene behandeling van het overgaan op een eenvoudiger 'equivalent systeem van krachten' zie Equivalente vectorsystemen.[1]

Zie ook
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.