Theorema van Bayes

Bij toepassing van het theorema wordt uitgegaan van een reeds bekende kans ${\displaystyle P(A)}$ op een gebeurtenis ${\displaystyle A}$, de zogenaamde a-priori-kans, op basis van eerder onderzoek. Bij gebrek daaraan kan hiervoor ook het oordeel van een ervaringsdeskundige worden gevraagd die een bepaalde waarschijnlijkheid toekent aan de gebeurtenis ${\displaystyle A,}$ bijvoorbeeld door te schatten dat een voorval voor 0,7 (70%) plausibel wordt geacht. Na waarneming van een gerelateerde gebeurtenis ${\displaystyle B}$ is kennis verkregen over de kans van optreden van ${\displaystyle A}$. Deze nieuwe kans wordt de a-posteriori-kans genoemd en is juist de voorwaardelijke kans ${\displaystyle P(A|B).}$

De regel van Bayes vindt ook toepassing in kennissystemen.

In de bevolking lijdt 1 op de 100 mensen aan reumatoïde artritis. Er bestaat een test, de "reumatest", die bij reumapatiënten meestal positief is en bij niet-reumapatiënten meestal negatief. De test is echter niet 100% waterdicht en heeft een specificiteit (dat wil zeggen de kans op een negatieve test als de ziekte afwezig is) van 0,8 en een sensitiviteit (kans op een positieve test bij aanwezigheid van de ziekte) van 0,7.

Vraag: Is het zinvol om de bevolking met deze test op het voorkomen van reuma te testen?

Daartoe bepalen we wat de kans is op de ziekte als we een willekeurig iemand uit de bevolking testen en de uitslag positief is.

Met ${\displaystyle Z}$ geven we aan dat de testpersoon aan de ziekte lijdt en met ${\displaystyle +}$ dat de uitslag van de test positief is. Uit de bovenstaande gegevens volgt:

${\displaystyle P(Z)=0{,}01}$ (kans dat iemand de ziekte heeft)

${\displaystyle P(+|Z)=0{,}70}$ (de kans op een positieve uitslag als de ziekte aanwezig is)

${\displaystyle P(-|{\text{niet }}Z)=0{,}80}$ (de kans op een negatieve uitslag als de ziekte afwezig is)

Met de regel van Bayes kunnen we nu berekenen:

${\displaystyle P(Z|{+})={\frac {P({+}|Z)P(Z)}{P({+}|Z)P(Z)+P({+}|\mathrm {niet} \ Z)P(\mathrm {niet} \ Z)}}={\frac {0{,}70\times 0{,}01}{0{,}70\times 0{,}01+0{,}20\times 0{,}99}}=0{,}034.}$

Dus zelfs bij een positieve uitslag van de test is de kans dat de onderzochte persoon de ziekte heeft maar iets meer dan drie procent. De "reumatest" is in deze situatie nagenoeg onbruikbaar.

De toepassing van dit theorema in de epidemiologie is belangrijk, zie ook prevalentie en incidentie.

Onderscheidt men bij het optreden van de gebeurtenis ${\displaystyle B}$ niet slechts de mogelijkheden ${\displaystyle A}$ en niet ${\displaystyle A}$, maar een reeks (disjuncte) mogelijkheden ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$, die dus een partitie van de uitkomstenruimte vormen, dan luidt de regel:

${\displaystyle P(A_{i}|B)={\frac {P(B|A_{i})P(A_{i})}{P(B|A_{1})P(A_{1})+\ldots +P(B|A_{n})P(A_{n})}}={\frac {P(B|A_{i})P(A_{i})}{\sum _{k=1}^{n}P(B|A_{k})P(A_{k})}}~.}$

Men kan nog algemener een soortgelijke regel formuleren voor kansverdelingen. Voor de simultane continue verdeling van twee stochastische variabelen ${\displaystyle X}$ en ${\displaystyle Y}$ luidt deze:

${\displaystyle f_{X}(x|Y=y)={\frac {f_{Y}(y|X=x)\,f_{X}(x)}{\int _{-\infty }^{\infty }f_{Y}(y|X=\xi )\,f_{X}(\xi )\,{\rm {d}}\xi }}}$.

De Bayesiaanse statistiek heeft het theorema van Bayes als uitgangspunt.

Het theorema van Bayes werd verscheidene keren in het recht gebruikt,[1]. Het gebrek aan kennis hiervan heeft in bepaalde zaken geleid tot ernstige gerechtelijke dwalingen zoals bij Sally Clark en bij Lucia de Berk[2].