Paraboolconstante

Het latus rectum (Lat. latus = zijde, rectum < rectus = recht, rechtop) is de koorde van een kegelsnede die in het (c.q. een) brandpunt loodrecht staat op de symmetrie-as door dat brandpunt.[2][3]

De paraboolparameter, of kortweg parameter, in het algemeen aangegeven met ${\displaystyle p}$, is gelijk aan de afstand van het brandpunt ${\displaystyle F}$ van de parabool tot de richtlijn ${\displaystyle r}$; zie het lijnstuk ${\displaystyle FR}$ in figuur 1.

De algemene vergelijking van de parabool die de y-as als symmetrie-as heeft, het punt ${\displaystyle O=(0,0)}$ als top en het punt ${\displaystyle F=(0,{\textstyle {1 \over 2}}p)}$ als brandpunt, is:

${\displaystyle y={\frac {1}{2p}}{{x}^{2}}}$

Zie ook Brandpunt en richtlijn van een parabool.

Snijdt het latus rectum de parabool in de punten ${\displaystyle D=(t,0)}$ en ${\displaystyle E=(-t,0)}$, dan is dus:

${\displaystyle P={\frac {{\text{booglengte}}(EOD)}{|FR|}}={\tfrac {1}{p}}\int _{-t}^{t}{{\sqrt {1+{{({\tfrac {dy}{dx}})}^{2}}}}dx}={\tfrac {1}{p}}\int _{-t}^{t}{{\sqrt {1+{\tfrac {{x}^{2}}{{p}^{2}}}}}dx}}$

Met de substitutie ${\displaystyle x=p\cdot t}$ is ${\displaystyle dx=pdt}$. En daarmee is:

${\displaystyle P={\textstyle {1 \over p}}\int _{-\,1}^{1}{{\sqrt {1+{t^{2}}}}\,\cdot \,p\,\,dt}=\int _{-\,1}^{1}{{\sqrt {1+{t^{2}}}}dt}=2\int _{0}^{1}{{\sqrt {1+{t^{2}}}}dt}}$

En hieruit blijkt dat de waarde van ${\displaystyle P}$ onafhankelijk is van de parameter ${\displaystyle p}$ van de parabool.
Met andere woorden: de waarde van ${\displaystyle P}$ is voor elke parabool hetzelfde.
Overigens volgt dit ook uit het feit dat alle parabolen gelijkvormig zijn met de zogeheten eenheidsparabool ${\displaystyle y={{x}^{2}}}$ waarbij ${\displaystyle 2p=1}$ .[4]

Verdere berekening van de integraal geeft dan met gebruik van de lijst van primitieven van irrationale functies:

${\displaystyle P=\left[t{\sqrt {1+{{t}^{2}}}}+\ln(t+{\sqrt {1+{{t}^{2}}}})\right]_{\ 0}^{\ 1}={\sqrt {2}}+\ln(1+{\sqrt {2}})\approx 2,29558714939}$

figuur 2. Gedeeltelijke wenteling van ${\displaystyle y=f(x)={e^{x}}}$ om de x-as.

Wordt het gedeelte van de grafiek van de functie ${\displaystyle y=f(x)={e^{x}}}$ dat links van de y-as gelegen is, om de x-as gewenteld, dan kan de oppervlakte ${\displaystyle M}$ van de mantel van het omwentelingslichaam worden uitgedrukt in ${\displaystyle P}$.

Zie figuur 2. Daarin is (bij benadering) voor het gedeelte van de mantel tussen de punten ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ voor kleine ${\displaystyle \Delta x}$:

${\displaystyle \Delta M=2\pi \,\cdot \,f(x)\,\cdot \,{\text{booglengte}}(AB)}$

Zodat voor ${\displaystyle M}$ geldt:

${\displaystyle M=2\pi \int _{-\,\infty }^{0}{{{e}^{x}}{\sqrt {1+{{(({{e}^{x}})')}^{2}}}}}dx=2\pi \int _{-\,\infty }^{0}{{{e}^{x}}{\sqrt {1+{{e}^{2x}}}}dx}}$

Met de substitutie ${\displaystyle {{e}^{x}}=t}$, waarbij ${\displaystyle {{e}^{x}}dx=dt}$, is dan:

${\displaystyle M=2\pi \int _{0}^{1}{{\sqrt {1+{{t}^{2}}}}dt=2\pi \,\cdot \,{\tfrac {1}{2}}P=\pi P}}$

Stelling. ${\displaystyle P}$ is een transcendent getal.

Bewijs (uit het ongerijmde). Stel ${\displaystyle P=\surd 2+\ln(1+\surd 2)}$ is algebraïsch. Dan is ook ${\displaystyle P'=P-\surd 2=\ln(1+\surd 2)}$ algebraïsch. Maar volgens de stelling van Lindemann-Weierstrass is dan ${\displaystyle {{e}^{P'}}=1+\surd 2}$ transcendent, maar dat is overduidelijk niet het geval.
Dus is ${\displaystyle P}$ transcendent. Wat te bewijzen was.

• Kegelsneden
• OEIS (The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences): A103710
• Lijst van integralen van irrationale functies
• Lijst van integralen van exponentiële functies
• Integratie door substitutie