Macht van een matrix

Als de matrix ${\displaystyle A}$ diagonaliseerbaar is, kan er een gesloten vorm gevonden worden voor de ${\displaystyle n}$-de macht van ${\displaystyle A.}$ Dan geldt namelijk:

${\displaystyle A=T\Lambda T^{-1}}$,

waarin ${\displaystyle \Lambda }$ een diagonaalmatrix is. De macht van een diagonaalmatrix is heel eenvoudig te bepalen, en:

${\displaystyle A^{n}=T\Lambda T^{-1}T\Lambda T^{-1}\ldots T\Lambda T^{-1}=T\Lambda ^{n}T^{-1}}$.

Bepaal de ${\displaystyle n}$-de macht van de matrix

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&0&0\\-2&3&0\\0&2&1\\\end{bmatrix}}}$

Alle elementen boven de diagonaal zijn gelijk aan 0 en de diagonaalelementen zijn alle verschillend, zodat de diagonaalelementen ook de eigenwaarden zijn. Voor een diagonaalvorm van ${\displaystyle A}$ kan men dus nemen:

${\displaystyle \Lambda ={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\\\end{bmatrix}}}$

De transformatie ${\displaystyle T}$ wordt bepaald door de eigenvectoren van ${\displaystyle A.}$ Dit zijn: (0,0,1), (1,2,4) en (0,1,1), zodat:

${\displaystyle T={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&2&1\\1&4&1\\\end{bmatrix}}}$

Nu volgt:

${\displaystyle A^{n}=T\Lambda ^{n}T^{-1}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&2&1\\1&4&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1^{n}&0&0\\0&2^{n}&0\\0&0&3^{n}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2&-1&1\\1&0&0\\-2&1&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2^{n}&0&0\\-2(3^{n}-2^{n})&3^{n}&0\\-2(3^{n}-2^{n+1}+1)&3^{n}-1&1\\\end{bmatrix}}}$

Voor het bepalen van het getal ${\displaystyle f(n)}$ in de rij van Fibonacci, hebben we de (n-1)-ste macht van de volgende matrix nodig:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}}$

Om de diagonaalvorm ${\displaystyle \Lambda }$ te vinden, berekenen we de eigenwaarden. Dit zijn de oplossingen ${\displaystyle \lambda }$ van de karakteristieke vergelijking:

${\displaystyle \det(A-\lambda I)={\begin{vmatrix}1-\lambda &1\\1&-\lambda \\\end{vmatrix}}=-\lambda (1-\lambda )-1=\lambda ^{2}-\lambda -1=0}$,

met oplossingen:

${\displaystyle \lambda _{1}={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}},\ \lambda _{2}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$.

De eigenvectoren bepalen de matrix:

${\displaystyle T={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&\lambda _{2}\\1&1\\\end{bmatrix}}}$

We vinden dus:

${\displaystyle A^{n-1}=T\Lambda ^{n-1}T^{-1}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&\lambda _{2}\\1&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\\\end{bmatrix}}^{n-1}{\begin{bmatrix}{\frac {-1}{\sqrt {5}}}&{\frac {\lambda _{2}}{\sqrt {5}}}\\{\frac {1}{\sqrt {5}}}&{\frac {-\lambda _{1}}{\sqrt {5}}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}^{n}&\lambda _{2}^{n}\\\lambda _{1}^{n-1}&\lambda _{2}^{n-1}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {-1}{\sqrt {5}}}&{\frac {\lambda _{2}}{\sqrt {5}}}\\{\frac {1}{\sqrt {5}}}&{\frac {-\lambda _{1}}{\sqrt {5}}}\\\end{bmatrix}}}$

Van deze matrix hebben we het element linksboven nodig. Dit levert:

${\displaystyle f_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}(\lambda _{2}^{n}-\lambda _{1}^{n})={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left(\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right)}$