Kromtestraal

De kromtestraal of boogstraal is een maat voor de kromming van een kromme. De kromtestraal wordt in het SI stelsel uitgedrukt in meters. Hoe groter de waarde van de kromtestraal, des te minder gekromd is de curve.

De rode straal van de cirkel geeft de kromtestraal aan van de curve C ter plaatse van punt P

Cirkel

Voor een cirkel is de kromtestraal op elk punt van de cirkel gelijk aan de straal, dat wil zeggen de helft van de diameter. Deze cirkel wordt de osculerende cirkel genoemd.

Willekeurige kromme

Parametrisch beschreven kromme

Voor een willekeurige enkelvoudig geparametriseerde kromme $C=\{(x,y)\;|\;x=x(t),\;y=y(t)\}$ , zal de kromtestraal van punt tot punt verschillen. De mate van kromming van een willekeurige kromme kan beschreven worden door de straal van de cirkel die in het beschouwde punt het best bij de kromme aansluit.

Het middelpunt van die cirkel heet krommingsmiddelpunt. Het is het snijpunt van de loodlijnen op de raaklijnen in (x(t),y(t)) en (x(t+dt),y(t+dt)). Daaruit volgt voor de kromtestraal $\rho$ :

\rho (t)=\left(1+\theta (t)^{2}\right)^{\frac {3}{2}}\left|{\frac {dx}{dt}}/{\frac {d\theta }{dt}}\right|\,

waarin

\theta (t)={\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}/{\frac {dx}{dt}}\,

de tangens van de hellingshoek (richtingscoëfficiënt) is van de raaklijn.

De formule voor de kromtestraal kan ook geschreven worden als:

\rho (t)={\frac {\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{\left|y''x'-y'x''\right|}}\,

waarin de accenten de afgeleiden voorstellen.

Expliciet beschreven kromme

Als de kromme beschreven wordt door $\ y=f(x)$ dan is

\rho =\left|{\frac {(1+y'^{2})^{\frac {3}{2}}}{y''}}\right|

Voorbeeld

Voor de eenheidscirkel geldt:

\theta (t)={\frac {dy}{dx}}=-\cot(t)\,

zodat de kromtestraal gelijk is aan:

\rho (t)=\left(1+\cot(t)^{2}\right)^{\frac {3}{2}}\left|{\frac {-\sin(t)}{1+\cot(t)^{2}}}\right|=1\,

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.