Jacobi-eigenwaardealgoritme

Aangezien het uitgangspunt is dat de matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ symmetrisch is, is deze matrix orthogonaal gelijksoortig aan een diagonaalmatrix ${\displaystyle D\in \mathbb {R} ^{n\times n}.}$

${\displaystyle D=S^{T}\cdot A\cdot S,}$

waarbij de diagonalen van ${\displaystyle D}$ de eigenwaarden ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$ van ${\displaystyle A}$ bevat en ${\displaystyle S}$ kolomsgewijs de bijbehorende eigenvectoren

${\displaystyle D=diag(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}),\qquad S=\lbrace E(\lambda _{1}),\ldots ,E(\lambda _{n})\rbrace }$

Het achterliggende idee bij het jacobi-eigenwaardealgoritme bestaat eruit om steeds het grootste element buiten de diagonaal met behulp van een Givens-rotatie naar 0 te brengen, om op die manier meer en meer de diagonaalmatrix te benaderen.

Er geldt het volgende iteratievoorschrift

${\displaystyle {\begin{array}{lll}A^{(0)}&=&A\\A^{(k+1)}&=&R_{k}^{T}A^{(k)}R_{k}=\underbrace {R_{k}^{T}R_{k-1}^{T}\ldots R_{0}^{T}} _{S_{k}^{T}}A^{(0)}\underbrace {R_{0}\ldots R_{k-1}R_{k}} _{S_{k}}\end{array}}}$

met ${\displaystyle R_{k}={\begin{bmatrix}1&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots &&\vdots \\0&\cdots &\cos \varphi &\cdots &\sin \varphi &\cdots &0\\\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots \\0&\cdots &-\sin \varphi &\cdots &\cos \varphi &\cdots &0\\\vdots &&\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &1\end{bmatrix}},}$

waarbij ${\displaystyle \cos \varphi }$ en ${\displaystyle \sin \varphi }$ steeds voor de ${\displaystyle p}$-de en ${\displaystyle q}$-de ${\displaystyle (p<q)}$ rij en kolom staan en ${\displaystyle |a_{pq}^{(k)}|\geq |a_{ij}^{(k)}|\quad \forall 1\leq i,j\leq n,i\not =j}$ het grootste buitendiagonaalelement van ${\displaystyle A^{(k)}}$ voorstelt. De componenten van ${\displaystyle R_{k}}$ lenen zich nu tot de volgende overweging:

De transformatie ${\displaystyle R_{k}^{T}A^{(k)}R_{k}}$ zorgt speciaal in de kruislementen voor de volgende veranderingen:

${\displaystyle {\begin{array}{lll}a_{pp}^{(k+1)}&=&a_{pp}^{(k)}\cos ^{2}\varphi -2a_{pq}^{(k)}\cos \varphi \sin \varphi +a_{qq}^{(k)}\sin ^{2}\varphi \\a_{qq}^{(k+1)}&=&a_{pp}^{(k)}\sin ^{2}\varphi +2a_{pq}^{(k)}\cos \varphi \sin \varphi +a_{qq}^{(k)}\cos ^{2}\varphi \\a_{pq}^{(k+1)}&=&a_{qp}^{(k+1)}=(a_{pp}^{(k)}-a_{qq}^{(k)})\cos \varphi \sin \varphi +a_{pq}^{(k)}(\cos ^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi )\qquad (\ast )\end{array}}}$

Aangezien ${\displaystyle a_{pq}^{(k+1)}=0}$ moet zijn, volgt uit ${\displaystyle (\ast ):\quad \Theta :={\frac {a_{qq}^{(k)}-a_{pp}^{(k)}}{2a_{pq}^{(k)}}}=\cot 2\varphi ={\frac {1-\tan ^{2}\varphi }{2\tan \varphi }}}$

${\displaystyle \Rightarrow \tan \varphi ={\begin{cases}{\frac {1}{\Theta +\operatorname {sgn} \Theta {\sqrt {1+\Theta ^{2}}}}}&\Theta \not =0\\1&\Theta =0\end{cases}}\Rightarrow \cos \varphi ={\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\varphi }}},~\sin \varphi =\tan \varphi \cos \varphi }$

Aangezien de rotatiematrices orthogonaal zijn en producten van orthogonale matrices ook weer orthogonaal zijn, wordt op deze wijze een orthogonale gelijksoortigheidstransformatie beschreven. Men kan aantonen dat de rij van matrices ${\displaystyle A^{(k)}}$ naar een diagonaalmatrix convergeert. Deze matrix moet op grond van de gelijksoortigheid dezelfde eigenwaarden bezitten.

${\displaystyle A^{(k)}\ {\xrightarrow[{k\rightarrow \infty }]{}}\,diag(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})}$

Over het algemeen volstaan 5n bewerkingen voor een n x n matrix

Bij het klassieke jacobi-eigenwaardealgoritme wordt bij elke iteratie het op dat moment grootste element op nul gezet. Aangezien het cyclische jacobi-eigenwaardealgoritme daarentegen juist naar dit grootste element zoekt, wordt daar bij iedere iteratie steeds een Givens-rotatie op elk element binnen de strikte bovendriehoek uitgevoerd.

• (de) Kaspar Nipp, Daniel Stoffer: Lineare Algebra: Eine Einführung für Ingenieure unter besonderer Berücksichtigung numerischer Aspekte (Lineaire algebra: een introductie voor ingenieurs met bijzondere inachteming van de numerieke aspecten) VDF Hochschulverlag AG 2002, ISBN 978-3-7281-2818-8. Abschnitt 10.2 (S. 222-228) ((de) beperkte online-version (Google Books))

• (en) Website van de Fullerton Universiteit over het jacobi-eigenwaardealgoritme (inclusief een verzameling links