Hypergeometrische functie

De hypergeometrische functies vormen een familie, geparametriseerd door de getallen ${\displaystyle p,q\in \mathbb {N} _{0}}$ en de reële getallen ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{p}}$ en ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{q}}$, van functies die voor ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ,|z|<1}$ gedefinieerd zijn door

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)=\sum _{k=0}^{\infty }\prod _{i=1}^{p}{\frac {\Gamma (k+a_{i})}{\Gamma (a_{i})}}\prod _{j=1}^{q}{\frac {\Gamma (b_{j})}{\Gamma (k+b_{j})}}{\frac {z^{k}}{k!}}}$.

Daarin is ${\displaystyle \Gamma }$ de gammafunctie.

Een andere schrijfwijze voor de functies is:

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}z^{k}}$

met

${\displaystyle c_{0}=1{\text{ en }}{\frac {c_{k+1}}{c_{k}}}={\frac {(k+a_{1})(k+a_{2})\cdots (k+a_{p})}{(k+b_{1})(k+b_{2})\cdots (k+b_{q})}}\,{\frac {1}{k+1}}.}$

Met behulp van het (stijgende) pochhammersymbool ${\displaystyle (q)_{n}}$, gedefinieerd als:

${\displaystyle (q)_{n}={\begin{cases}1&n=0\\q(q+1)\cdots (q+n-1)&n>0\end{cases}}}$,

kan men voor de functies ook schrijven:

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{k}(a_{2})_{k}\ldots (a_{p})_{k}}{(b_{1})_{k}(b_{2})_{k}\ldots (b_{q})_{k}}}\,{\frac {z^{k}}{k!}}.}$

${\displaystyle {}_{0}F_{0}\left(;;z\right)=e^{z}}$

${\displaystyle {}_{1}F_{0}\left(-a;;-z\right)=(1+z)^{a}}$

${\displaystyle {}_{0}F_{1}\left(;{\frac {1}{2}};-{\frac {z^{2}}{4}}\right)=\cos z}$

${\displaystyle {}_{0}F_{1}\left(;{\frac {3}{2}};-{\frac {z^{2}}{4}}\right)={\frac {\sin z}{z}}}$

${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(1,1;2;-z\right)={\frac {1}{z}}\ln(1+z)}$

${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},1;{\frac {3}{2}};z^{2}\right)={\frac {1}{2z}}\ln {\frac {1+z}{1-z}}}$

${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};{\frac {3}{2}};z^{2}\right)={\frac {1}{z}}\arcsin z}$

${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},1;{\frac {3}{2}};-z^{2}\right)={\frac {1}{z}}\arctan z}$

${\displaystyle {}_{0}F_{1}\left(;1+a;-{\frac {z^{2}}{4}}\right)=\Gamma (a+1)\cdot \left({\frac {z}{2}}\right)^{-a}\cdot J_{a}(z)\quad }$, waarin ${\displaystyle J_{a}(z)}$ de besselfunctie is.

${\displaystyle {}_{0}F_{1}\left(;1+a;{\frac {z^{2}}{4}}\right)=\Gamma (a+1)\left({\frac {z}{2}}\right)^{-a}\cdot I_{a}(z)\quad }$, met ${\displaystyle I_{a}(z)=e^{-i{\frac {\pi }{2}}a}J_{a}(z)}$ de gemodificeerde besselfunctie.

${\displaystyle {}_{1}F_{1}\left(a;a+1;-z\right)=az^{-a}\gamma (a,z)}$, waarin ${\displaystyle \gamma (a,z)}$ de onvolledige gammafunctie voorstelt.

${\displaystyle {}_{1}F_{1}\left(1;a+1;z\right)=az^{-a}e^{z}\gamma (a,z)}$

${\displaystyle {}_{0}F_{1}(;{\tfrac {1}{2}};-{\tfrac {z^{2}}{4}})=1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{(2k)!}}=\cos z}$

Tot ongeveer 1870 werd de naam hypergeometrische functie alleen gebruikt voor ₂F₁. Carl Friedrich Gauss beschreef voor het eerst een groot aantal eigenschappen van deze functies in zijn doctoraatsthesis in 1812, hoewel Leonhard Euler en Johann Friedrich Pfaff tevoren al merkwaardige eigenschappen hadden ontdekt.[1]

• Eduard Heine: Handbuch der Kugelfunctionen S. 91 Georg Reimer, Berlin, 1861.
• Felix Klein: Vorlesungen über die hypergeometrische Funktion Springer, Berlin.
• Ludwig Bieberbach: Theorie der Differentialgleichungen Springer, Berlin, 1930.

• Hypergeometric Function in NIST Digital Library of Mathematical Functions