Johann Friedrich Pfaff

In Helmstedt publiceerde Pfaff in 1788 werken over een nieuwe manier om differentiaalrekeningregels af te leiden en over de sommering van bepaalde rijen. In 1793 knoopte hij aan bij werk van Euler over reeksontwikkelingen voor bepaalde integrale machten.

Het was een historische verdienste van Pfaffs dat hij het genie van de jonge Gauss herkende. Als promotor gaf hij in 1799 toestemming aan Gauss om in absentia aan de Universiteit van Helmstedt zijn doctoraat te verkrijgen. Pfaff was een voorloper van de Duitse school van wiskundig denken, die onder Gauss en diens volgelingen voor een groot deel de lijnen uitzette waarlangs de wiskunde zich in de negentiende eeuw zou ontwikkelen. Hij leerde Gauss goed kennen toen beiden in 1798 tegelijkertijd in Helmstedt leefden. Formeel was hij daar Carl Friedrich Gauss zijn promotor.

Nadat de Universiteit van Helmstedt in 1810 vanwege anti-Frans onlusten was gesloten, kwam Pfaff in 1812 naar de net heropende Universiteit van Halle, waar hij ook hoofd van de plaatselijke sterrenwacht werd. Beide plaatsen maakten op dat moment deel uit van het door Napeleon opgerichte Koninkrijk Westfalen. Een student van Pfaff in deze tijd was August Ferdinand Möbius.

In 1815 publiceerde Pfaff zijn belangrijkste werk: "Methodus generalis aequationes differentiarum particularum ... complete intigrandi". Het gaat hier om het Pfaffsche probleem van de integratie van partiële differentiaalvergelijkingen van de vorm ${\displaystyle \omega =0}$ mit

${\displaystyle \qquad \omega =\sum _{k=1}^{n}f_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})\,\mathrm {d} x.}$

Heden ten dage noemt men ${\displaystyle \omega }$ een Pfaffse vorm in de n variabelen ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$. Deze methode werd in 1827 verder uitgebouwd door Jacobi.

Bij zijn dood in in 1825 liet Pfaff een uitgebreide wiskundige nalatenschap achter, die in de universiteitsbibliotheek van Halle wordt bewaard.

Pfaff wordt gezien als een van Duitslands meest vooraanstaande wiskundigen van het begin van de 19e eeuw. Hij bestudeerde de integraalrekening en staat bekend om zijn werk aan de partiële differentiaalvergelijkingen van de eerste orde (de "Pfaffiaanse systemen", zoals deze nu worden genoemd). Deze partiële differentiaalvergelijkingen werden later opgenomen in de theorie van de differentiaalvormen.