Legendretransformatie

In de wiskunde is de legendretransformatie, vernoemd naar de Franse wiskundige Adrien-Marie Legendre, een operatie die een reëelwaardige functie van een reële variabele in een andere variabele transformeert. In het bijzonder is de legendretransformatie van een convexe functie ƒ de functie ƒ^* die wordt gedefinieerd door

${\displaystyle f^{\star }(p)=\sup _{x}{\bigl (}px-f(x){\bigr )}.}$

Diagram dat de legendretransformatie van de functie ${\displaystyle f(x)}$ illustreert. De functie is rood, en de raaklijn op punt ${\displaystyle (x_{0},\ f(x_{0}))}$ is blauw. De raaklijn snijdt de verticale as op ${\displaystyle (0,\ -f^{\star })}$, en ${\displaystyle f^{\star }}$ is de waarde van de legendretransformatie ${\displaystyle f^{\star }(p_{0})}$, waar ${\displaystyle p_{0}={\dot {f}}(x_{0})}$. Merk op dat voor elk ander punt op de rode kromme, een lijn getrokken door dat punt met dezelfde helling als de blauwe lijn de y-as zal snijden boven het punt ${\displaystyle (0,\ -f^{\star })}$, waaruit blijkt dat ${\displaystyle f^{\star }}$ daadwerkelijk een maximum is.