Differentieerbaarheid

De uitbreiding voor ${\displaystyle n>1}$ (vectorwaardige functies) is niet zo moeilijk, omdat de limiet uit bovenstaande definitie ook nog gedefinieerd is voor vectoren in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. De functie ${\displaystyle f}$ kan geschreven worden in termen van componentfuncties

${\displaystyle f(x)=(f_{1}(x),\ldots ,f_{n}(x))}$

en ${\displaystyle f}$ is differentieerbaar dan en slechts dan als alle ${\displaystyle f_{i}}$ afzonderlijk differentieerbaar zijn.

De uitbreiding voor ${\displaystyle m>1}$ ligt minder voor de hand, omdat het niet duidelijk is wat de limieten betekenen.

Een gedeeltelijke uitbreiding levert het begrip partiële differentieerbaarheid. We zeggen dat de functie van meer veranderlijken ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{m})}$ in het punt ${\displaystyle x_{0}=(x_{01},\ldots ,x_{0m})}$ partieel differentieerbaar is naar de ${\displaystyle i}$-de veranderlijke ${\displaystyle x_{i}}$, als de functie

${\displaystyle g_{i}(t)=f(x_{01},\ldots ,x_{0(i-1)},t,x_{0(i+1)}\ldots ,x_{0m})}$

(gewoon) differentieerbaar is in ${\displaystyle x_{0i}}$. Merk op dat elke ${\displaystyle g_{i}}$ een functie is van ${\displaystyle \mathbb {R} }$ naar ${\displaystyle \mathbb {R} }$. De gewone afgeleide van deze functie van één veranderlijke heet partiële afgeleide van ${\displaystyle f}$ naar de ${\displaystyle i}$-de veranderlijke, genoteerd als

${\displaystyle {\partial f \over \partial x_{i}}(x_{01},\ldots ,x_{0(i-1)},x_{0i},x_{0(i+1)}\ldots ,x_{0m}=g'_{i}(x_{0i})}$

Het bestaan van partiële afgeleiden in alle ${\displaystyle m}$ veranderlijken tegelijk is een zwakke eigenschap, en is bijvoorbeeld nog niet voldoende om continuïteit te garanderen. Daarom wordt meestal de volgende, engere definitie gehanteerd.

De functie ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{m})}$ heet totaal differentieerbaar in een punt ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{m},}$ als er een lineaire afbeelding

${\displaystyle A:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$,

bestaat met de eigenschap

${\displaystyle \lim _{\|\Delta x\|\to 0}{\frac {\|f(x+\Delta x)-f(x)-A(\Delta x)\|}{\|\Delta x\|}}=0.}$

Daarin stelt ${\displaystyle \|\cdot \|}$ de bekende euclidische norm voor. Verder is ${\displaystyle \Delta x}$ een vector in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$, waarvan in de limiet de norm willekeurig klein gemaakt wordt.

De lineaire afbeelding ${\displaystyle A}$ heet de (totale) afgeleide van ${\displaystyle f}$ in de vector ${\displaystyle x}$. In het geval ${\displaystyle m=1}$ is de lineaire afbeelding de vermenigvuldiging met het getal ${\displaystyle f'(x)}$.

Als ${\displaystyle f}$ totaal differentieerbaar is in ${\displaystyle x_{0},}$ is ze ook continu in ${\displaystyle x_{0}}$ én partieel differentieerbaar in elk van de ${\displaystyle m}$ veranderlijken afzonderlijk. De lineaire afbeelding ${\displaystyle A}$ kan worden voorgesteld door een matrix, de jacobi-matrix ${\displaystyle J(f)}$, met als elementen de verschillende partiële afgeleiden van ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle x_{0}:}$

${\displaystyle J(f)={\frac {\partial (f_{1},\cdots ,f_{n})}{\partial (x_{1},\cdots ,x_{m})}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{m}}}\\{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{m}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{m}}}\end{bmatrix}}}$,

Waarin alle elementen in het punt ${\displaystyle x_{0}}$ geëvalueerd moeten worden:

${\displaystyle J(f)_{ij}={\partial f_{i} \over \partial x_{j}}(x_{0})}$