Complexe wisselstroomrekening

Een weerstand ${\displaystyle R}$ is in serie geschakeld met de parallelschakeling van een condensator met capaciteit ${\displaystyle C}$ en een spoel met zelfinductie ${\displaystyle L}$. De schakeling is aangesloten op een wisselspanning met frequentie ${\displaystyle f}$ en amplitude ${\displaystyle U}$.

De hoekfrequentie is dus ${\displaystyle \omega =2\pi \,f}$, en de impedantie is:

${\displaystyle Z=R+{\frac {1}{j\omega C+{\frac {1}{j\omega L}}}}=R+j{\frac {\omega \,L}{1-\omega ^{2}L\,C}}}$.

De stroomsterkte volgt uit:

${\displaystyle {\hat {i}}={\frac {\hat {u}}{Z}}={\frac {U}{Z}}}$.

Een smoorspoel met zelfinductie ${\displaystyle L=0{,}1\,{\rm {H}}}$ heeft een inwendige weerstand van ${\displaystyle R=5\,\Omega }$. De spoel is aangesloten op de netspanning, dus een wisselspanning met frequentie ${\displaystyle 50\,{\rm {Hz}}}$ en amplitude ${\displaystyle U=230{\sqrt {2}}\ {\text{V}}}$.

De hoekfrequentie is dus ${\displaystyle \omega =2\pi \,f=100\,\pi \,{\text{Hz}}}$, en de impedantie is:

${\displaystyle Z=R+j\omega L=5+j\,\cdot 100\pi \cdot 0,1=5+j\,10\,\pi \,\Omega }$.

De stroomsterkte volgt uit:

${\displaystyle {\hat {i}}={\frac {\hat {u}}{Z}}={\frac {U}{Z}}={\frac {230{\sqrt {2}}}{5+j\,10\,\pi }}={\frac {230{\sqrt {2}}(5-j\,10\,\pi )}{25+100\,\pi ^{2}}}\approx 1{,}61-j\,10{,}10\,{\text{A}}}$

${\displaystyle =10{,}22\,{\text{A}}\angle -81}$°, dus effectief ${\displaystyle 7{,}23\,{\text{A}}}$.

Er loopt in het circuit dus een stroom met een amplitude van 10,22 ampère (effectief 7,23 A), die ca. 81° in fase achter loopt op de spanning. De stroom bestaat uit een effectieve component van 1,14 A (${\displaystyle =(1{,}61/{\sqrt {2}}){\text{A}}}$) in fase met de spanning en een blindstroom met een effectieve sterkte van 7,14 A (${\displaystyle =(10{,}10/{\sqrt {2}}){\text{A}}}$) die 90° achter loopt op de spanning.

In een circuit met alleen een ohmse impedantie ${\displaystyle R}$ geldt volgens de wet van Ohm:

${\displaystyle u(t)=R\cdot i(t)}$,

dus

${\displaystyle \varphi =0\quad }$ en ${\displaystyle \quad U=I\cdot R}$.

Dezelfde relatie bestaat tussen de complexe voorstellingen, immers

${\displaystyle {\underline {u}}(t)=U\,e^{j\omega t}=I\cdot R\cdot e^{j\omega t}=R\cdot I\,e^{j\omega t}=R\cdot {\underline {i}}(t)}$.

Daaruit volgt ook voor de fasors:

${\displaystyle {\hat {u}}=U,\quad {\hat {i}}=I\quad }$ en ${\displaystyle \quad {\hat {u}}=R\cdot {\hat {i}}}$.

Dat houdt in dat de stroom en de spanning in fase zijn en de complexe impedantie gelijk is aan:

${\displaystyle Z=R}$.

In een circuit met alleen een capaciteit ${\displaystyle C}$ geldt de differentiaalvergelijking:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u(t)}{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{C}}\cdot i(t)}$,

waaruit volgt

${\displaystyle U\,{\frac {\mathrm {d} \cos(\omega t)}{\mathrm {d} t}}=-\omega \,U\cdot \sin(\omega t)={\frac {1}{C}}\cdot I\,\cos(\omega t+\varphi )}$,

dus

${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1}{2}}\pi \quad }$ en ${\displaystyle \quad U={\frac {1}{\omega C}}\,I}$.

Ook hier bestaat dezelfde relatie tussen de complexe voorstellingen, immers

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\underline {u}}(t)}{\mathrm {d} t}}={\hat {u}}\,j\omega \,e^{j\omega t}=U\,j\omega \,e^{j\omega t}={\frac {1}{\omega C}}\,I\cdot j\omega \,e^{j\omega t}={\frac {I}{C}}\cdot e^{j\pi /2}\,e^{j\omega t}={\frac {1}{C}}{\hat {i}}\,e^{j\omega t}={\frac {1}{C}}\cdot {\underline {i}}(t)}$.

Daaruit volgt ook voor de fasors:

${\displaystyle {\hat {u}}=U,\quad {\hat {i}}=j\,I\quad }$ en ${\displaystyle \quad {\hat {u}}={\frac {1}{j\omega C}}\cdot {\hat {i}}}$.

Dat houdt in dat de stroom 90° voor loopt ten opzichte van de spanning en de complexe impedantie gelijk is aan:

${\displaystyle Z={\frac {1}{j\omega C}}}$.

In een circuit met alleen een zelfinductie ${\displaystyle L}$ geldt de differentiaalvergelijking:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} i(t)}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {1}{L}}\cdot u(t)}$,

waaruit volgt

${\displaystyle I\,{\frac {\mathrm {d} \cos(\omega t+\varphi )}{\mathrm {d} t}}=-\omega \,I\cdot \sin(\omega t+\varphi )={\frac {U}{L}}\cdot \cos(\omega t)}$,

dus

${\displaystyle \varphi =-{\tfrac {1}{2}}\pi \quad }$ en ${\displaystyle \quad U=\omega L\,I}$.

Ook hier bestaat weer dezelfde relatie tussen de complexe voorstellingen, immers

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\underline {i}}(t)}{\mathrm {d} t}}={\hat {i}}\,j\omega \,e^{j\omega t}=j\omega \,I\,e^{-j\pi /2}\,e^{j\omega t}=j\omega {\frac {U}{\omega L}}\cdot e^{-j\pi /2}\,e^{j\omega t}={\frac {U}{L}}\,e^{j\omega t}={\frac {1}{L}}{\hat {u}}\,e^{j\omega t}={\frac {1}{L}}\cdot {\underline {u}}(t)}$.

Daaruit volgt ook voor de fasors:

${\displaystyle {\hat {u}}=U,\quad {\hat {i}}=-j\,I\quad }$ en ${\displaystyle \quad {\hat {u}}=j\omega L\cdot {\hat {i}}}$.

Dat houdt in dat de stroom 90° achter loopt ten opzichte van de spanning en de complexe impedantie gelijk is aan:

${\displaystyle Z=j\omega L}$.

Voor elk type impedantie blijkt de wet van Ohm ook van toepassing op de complexe amplitudes van de spanning en de stroomsterkte, waarbij voor de impedanties de genoemde vorm gekozen moet worden. Als gevolg van het superpositiebeginsel blijven ook de wetten van Kirchhoff geldig.