Clique (grafentheorie)

Deze graaf heeft cliquegetal 4: er zijn twee maximumcliques met 4 knopen (donkerblauw). Deze cliques zijn per definitie tevens maximaal. De elf lichtblauwe driehoeken zijn ook maximale cliques, met 3 knopen. De zes zijden die niet bij een driehoek horen zijn eveneens maximale cliques, met 2 knopen.

Stel ${\displaystyle G=(V,E)}$ is een niet-gerichte enkelvoudige graaf. Een clique is een deelverzameling ${\displaystyle U}$ van ${\displaystyle V}$ die een volledige graaf induceert. Als men met ${\displaystyle F}$ de verzameling aanduidt van alle zijden uit ${\displaystyle E}$ die twee knopen uit ${\displaystyle U}$ verbinden, dan is de deelgraaf ${\displaystyle H=(U,F)}$ een volledige graaf.

Een maximale clique ${\displaystyle U}$ van ${\displaystyle G}$ is een clique waar men geen andere knoop ${\displaystyle v}$ uit ${\displaystyle V}$ aan kan toevoegen, zodanig dat ${\displaystyle U}$ met ${\displaystyle v}$ erbij een clique blijft. Anders gezegd: een maximale clique is een complete deelgraaf die niet in een andere complete deelgraaf vervat is.

Onder alle maximale cliques is er minstens een met het grootste aantal knopen; dit noemt men de grootste clique of maximumclique van ${\displaystyle G.}$ Het aantal knopen van de maximale clique noemt men het cliquegetal ${\displaystyle c(G)}$ van de graaf.

Een clique cover ("clique-overdekking") is een verzameling van cliques die samen alle knopen van de graaf omvatten.

Elke clique van een graaf ${\displaystyle G}$ vormt een onafhankelijke verzameling in de complementgraaf van ${\displaystyle G}$ en vice versa. Deze twee begrippen zijn dus complementair.

Het chromatisch getal ${\displaystyle \chi (G)}$ van een graaf ${\displaystyle G}$ is een bovengrens voor het cliquegetal ${\displaystyle c(G)}$: ${\displaystyle \chi (G)\geq c(G)}$ Voor bepaalde soorten grafen zoals perfecte grafen zijn deze twee getallen gelijk.

• Het cliqueprobleem is het beslissingsprobleem, te bepalen of een graaf een clique bevat met een gegeven minimumaantal knopen. Het is bewezen dat dit een algoritmisch moeilijk, NP-volledig probleem is. Hiermee verwant is het zoekprobleem: vind een grootste clique van een graaf[2] of, wat op hetzelfde neerkomt: vind het cliquegetal van de graaf. Van perfecte grafen kan men het cliquegetal, en dus ook het chromatisch getal, toch in polynomiale tijd berekenen.
• Het clique cover-probleem is het kleinste aantal cliques te vinden die samen alle knopen van de graaf omvatten.
• Maximal clique enumeration (MCE)[3] is het probleem om alle maximale cliques in een graaf te vinden. Dit is een NP-moeilijk probleem dat talrijke toepassingen heeft, onder meer in de bio-informatica, chemo-informatica, de analyse van verkeerssituaties[4] enzovoort. Hiervoor zijn verschillende algoritmes ontwikkeld, waaronder het Bron-Kerbosch-algoritme, dat de Nederlanders Coen Bron en Joep Kerbosch in 1973 publiceerden.[5] De afkorting MCE wordt ook gebruikt voor maximum clique enumeration: het vinden van alle maximumcliques in een graaf.[6] Een algoritme dat het maximal clique enumeration-probleem oplost, lost uiteraard ook het maximum clique enumeration-probleem op.