Chi-kwadraattoets

Een chi-kwadraattoetsingsgrootheid heeft de volgende vorm:

${\displaystyle \chi ^{2}=\sum {\frac {(f-e)^{2}}{e}},}$

waarin ${\displaystyle e}$ de verwachte (of gemiddelde) en ${\displaystyle f}$ de waargenomen frequentie is, en gesommeerd wordt over alle mogelijkheden.

Met de aanpassingstoets wordt nagegaan of een onbekende discrete verdeling op de waarden ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{k}}$ al dan niet verschilt van een bekende verdeling. De onbekende discrete verdeling wordt bepaald door de onbekende kansen ${\displaystyle p_{k}=p(x_{k})}$ op de waarden ${\displaystyle x_{k}}$.

Voor de toets wordt een aselecte steekproef ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ van omvang ${\displaystyle n}$ genomen uit de onbekende verdeling. De chi-kwadraat-aanpassingstoets toetst de nulhypothese dat de steekproef uit een bekende verdeling afkomstig is:

${\displaystyle H_{0}:p_{k}=p_{0k}}$ voor alle ${\displaystyle k}$

op basis van de toetsingsgrootheid:

${\displaystyle \chi ^{2}=\sum _{k}{\frac {(N_{k}-np_{0k})^{2}}{np_{0k}}},}$

waarin ${\displaystyle N_{k}}$ het aantal keren is dat in de steekproef de waarde ${\displaystyle x_{k}}$ voorkomt. ${\displaystyle p_{0k}}$ is de kans op het voorkomen van ${\displaystyle x_{k}}$ volgens de nulhypothese en dus is ${\displaystyle np_{0k}}$ het aantal keer dat ${\displaystyle x_{k}}$ zou voorkomen op basis van de nulhypothese.

Voor voldoend grote ${\displaystyle n}$ is de toetsingsgrootheid onder de nulhypothese bij benadering chi-kwadraatverdeeld met ${\displaystyle n-1}$ vrijheidsgraden. De nulhypothese wordt verworpen voor te grote waarden van de toetsingsgrootheid.

Merk op dat deze test eigenlijk de relatieve euclidische afstand meet tussen de twee functies.

Met de onafhankelijkheidstoets wordt nagegaan of waarnemingen uit een onbekende simultane discrete verdeling op de waarden ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{k},y_{r})}$ al dan niet onderling onafhankelijk zijn. De onbekende discrete verdeling wordt bepaald door de onbekende kansen ${\displaystyle p_{i,j}=p((x_{i},y_{j}))}$ op de waarden ${\displaystyle (x_{i},y_{j})}$.

Voor de toets wordt een aselecte steekproef ${\displaystyle (X_{1},Y_{1})\ldots ,(X_{n},Y_{n})}$ van omvang ${\displaystyle n}$ genomen uit de onbekende simultane discrete verdeling van de stochastische variabelen ${\displaystyle X}$ en ${\displaystyle Y}$. De chi-kwadraat-onafhankelijkheidstoets toetst de nulhypothese dat ${\displaystyle X}$ en ${\displaystyle Y}$ onderling onafhankelijk zijn:

${\displaystyle H_{0}:p_{i,j}=p_{i}\cdot p_{j}}$ voor alle ${\displaystyle i}$ en ${\displaystyle j}$,

waarin

${\displaystyle p_{i\cdot }=\sum _{j}p_{i,j}{\text{ en }}p_{\cdot j}=\sum _{i}p_{i,j}}$,

op basis van de toetsingsgrootheid:

${\displaystyle \chi ^{2}=\sum _{i,j}{\frac {(N_{i,j}-N_{i,j}^{*})^{2}}{N_{i,j}^{*}}}.}$

Daarin is ${\displaystyle N_{i,j}}$ het aantal keren dat in de steekproef het paar ${\displaystyle (x_{i},y_{j})}$ voorkomt, zijn

${\displaystyle N_{i\cdot }=\sum _{j}N_{i,j}{\text{ en }}N_{\cdot j}=\sum _{i}N_{i,j}}$

de verschillende randtotalen en is:

${\displaystyle N_{i,j}^{*}={\frac {N_{i\cdot }N_{\cdot j}}{n}}}$

Voor voldoend grote ${\displaystyle N_{i,j}}$ is de toetsingsgrootheid onder de nulhypohese bij benadering chi-kwadraatverdeeld met ${\displaystyle (k-1)(r-1)}$ vrijheidsgraden. De nulhypothese wordt verworpen voor te grote waarden van de toetsingsgrootheid.

Met de homogeniteitstoets wordt nagegaan of een aantal discrete verdelingen op dezelfde waarden ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{k}}$ al dan niet van elkaar verschillen. De ${\displaystyle r}$ discrete verdelingen worden voor ${\displaystyle i=1,\ldots ,r}$ bepaald door de onbekende kansen ${\displaystyle p_{i,j}=p_{i}(x_{j})}$ op de waarden ${\displaystyle x_{j}}$.

Voor de toets worden voor ${\displaystyle i=1,\ldots ,r}$ onderling onafhankelijke aselecte steekproeven ${\displaystyle X_{i,1},\ldots ,X_{i,n_{i}}}$ van omvang ${\displaystyle n_{i}}$ genomen. De chi-kwadraat-homogeniteitstoets toetst de nulhypothese dat de steekproeven uit dezelfde verdeling afkomstig zijn:

${\displaystyle H_{0}:p_{i,j}=p_{j}}$ voor alle ${\displaystyle i}$ en ${\displaystyle j}$,

op basis van de toetsingsgrootheid:

${\displaystyle \chi ^{2}=\sum _{i,j}{\frac {(N_{i,j}-N_{i,j}^{*})^{2}}{N_{i,j}^{*}}}.}$

Daarin is ${\displaystyle N_{i,j}}$ het aantal keren dat in de ${\displaystyle i}$-de steekproef de waarde ${\displaystyle x_{j}}$ voorkomt, zijn

${\displaystyle N_{\cdot j}=\sum _{i}N_{i,j}}$

randtotalen en is:

${\displaystyle N_{i,j}^{*}={\frac {n_{i}N_{\cdot j}}{\sum _{i}n_{i}}}}$

Voor voldoend grote ${\displaystyle N_{i,j}}$ is de toetsingsgrootheid onder de nulhypothese bij benadering chi-kwadraatverdeeld met ${\displaystyle (k-1)(r-1)}$ vrijheidsgraden. De nulhypothese wordt verworpen voor te grote waarden van de toetsingsgrootheid.