Riemannintegratie

Een Riemannsom

Stel dat we voor een functie ${\displaystyle f,}$ die we voor het gemak niet-negatief nemen, de oppervlakte onder de grafiek willen uitrekenen boven een interval ${\displaystyle [a,b]}$ in het domein. Riemann bedacht de volgende methode om deze oppervlakte te benaderen:

• verdeel het interval ${\displaystyle [a,b]}$ in een eindig aantal, zeg ${\displaystyle n,}$ deelintervallen;
• noem de lengte van het ${\displaystyle i}$-de deelinterval ${\displaystyle \Delta _{ni}}$,
• kies een punt ${\displaystyle x_{i}}$ in het ${\displaystyle i}$-de deelinterval,

dan wordt de gevraagde oppervlakte benaderd door de som van de gemakkelijk te berekenen oppervlakten van de rechthoeken boven de deelintervallen met hoogten ${\displaystyle f(x_{i})}$. Deze som, die Riemannsom genoemd wordt, is:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(x_{i})\Delta _{ni}}$

Een sequentie van Riemannsommen. Het getal in de rechterbovenhoek van de afbeelding, is de som van de oppervlaktes van alle grijze rechthoeken. Deze som convergeert naar de (Riemann)integraal van de functie.

Door de verdeling in deelintervallen te verfijnen, dat wil zeggen door elk deelinterval weer verder te verdelen in een eindig aantal deelintervallen, zal een betere benadering verkregen worden. Bij steeds verdere verfijning, waarbij de lengte van het grootste deelinterval naar 0 gaat, zullen voor sommige functies de bijbehorende Riemannsommen convergeren. Dergelijke functies heten Riemannintegreerbaar en de limiet van de Riemannsommen is de gevraagde integraal, genoteerd als:

${\displaystyle \int _{a}^{b}\!f}$

of als

${\displaystyle \int _{a}^{b}\!f(x)\mathrm {d} x}$

Voor de definitie van de Riemannintegraal zijn enkele begrippen nodig.

Een verdeling van het interval ${\displaystyle [a,b]}$ is een eindige rij getallen van de vorm:

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}=b.}$

Elk interval ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$ heet een deelinterval van de verdeling. De maas van de verdeling is de lengte van het grootste deelinterval.

Een gelabelde verdeling van ${\displaystyle [a,b]}$ is een verdeling, waarbij in elk deelinterval ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$ een punt ${\displaystyle t_{i}}$ is gegeven,

Een gelabelde verdeling ${\displaystyle V'}$ heet een verfijning van de verdeling ${\displaystyle V}$ als alle deelpunten ${\displaystyle x_{i}}$ van ${\displaystyle V}$ ook deelpunten van ${\displaystyle V'}$ zijn en alle labels ${\displaystyle t_{i}}$ van ${\displaystyle V}$ ook labels van ${\displaystyle V'}$ zijn.

De Riemannsom van een reële functie ${\displaystyle f}$ gedefinieerd op het interval ${\displaystyle [a,b],}$ met betrekking tot de gelabelde verdeling ${\displaystyle V}$ van ${\displaystyle [a,b]}$ met deelpunten ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ en labels ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}}$ is:

${\displaystyle S(f,V)=\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})(x_{i}-x_{i-1}).}$

Een gelijkwaardige definitie, maar technisch eenvoudiger dan de Riemannintegraal, is de Darbouxintegraal, genoemd naar de Franse wiskundige Gaston Darboux, aan wie deze aanpak meestal wordt toegeschreven. In plaats van Riemannsommen gedefinieerd aan de hand van willekeurige punten uit de deelintervallen, wordt het oppervlak boven een deelinterval ingesloten tussen rechthoeken met hoogten gelijk aan het maximum en het minimum van de functie op een deelinterval.

De Darbouxintegraal is equivalent aan de Riemannintegraal, dat wil zeggen dat een functie die Darbouxintegreerbaar is, ook Riemannintegreerbaar is, en omgekeerd, en dat de Darbouxintegraal gelijk is aan de Riemannintegraal.

Als ${\displaystyle f}$ de afgeleide is van de functie ${\displaystyle F,}$ kan volgens de hoofdstelling van de integraalrekening, de integraal van ${\displaystyle f}$ over het interval ${\displaystyle [a,b]}$ geschreven worden als:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a).}$

Merk op dat het zo dus ook mogelijk is een waardeverandering van de primitieve functie ${\displaystyle F}$ te benaderen op het interval ${\displaystyle [a,b],}$ zelfs als ${\displaystyle F}$ zelf niet expliciet bepaald kan worden uit ${\displaystyle f.}$

Het symbool ${\displaystyle \scriptstyle \int }$ waarmee een integraal wordt aangeduid, is geïntroduceerd door de Duitse wiskundige Gottfried Wilhelm von Leibniz tegen het eind van 17de eeuw. Het is gebaseerd op de lange s (ſ) en werd gekozen omdat de integraal een limiet is van sommen.