Axioma's van de kansrekening

Bij kansrekening is er altijd sprake van een niet-lege verzameling ${\displaystyle \Omega }$, de uitkomsten, en een collectie deelverzamelingen daarvan, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, de gebeurtenissen. Op de collectie gebeurtenissen is een kans ${\displaystyle P}$ (van 'Probabilitas') gedefinieerd. De verzameling ${\displaystyle \Omega }$ kan worden gezien als de verzameling van de mogelijke uitkomsten van een kansexperiment; daarom wordt ${\displaystyle \Omega }$ de uitkomstenruimte genoemd en de elementen van ${\displaystyle \Omega }$ uitkomsten. Over het algemeen kan niet iedere deelverzameling van ${\displaystyle \Omega }$ als gebeurtenis optreden; de deelverzamelingen die wel als gebeurtenis kunnen optreden, vormen de speciale collectie ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Om te garanderen dat allerlei met een of meer gebeurtenissen samenhangende deelverzamelingen van ${\displaystyle \Omega }$ ook tot de gebeurtenissen behoren, wordt geëist dat ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ een σ-algebra is. De kans ${\displaystyle P}$ moet voldoen aan de volgende voorwaarden, de zogenaamde axioma's van Kolmogorov:

1. Voor iedere gebeurtenis ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ geldt: ${\displaystyle P(A)\geq 0}$ (een kans is niet negatief).
2. ${\displaystyle P(\Omega )=1}$ (de totale kans is genormeerd op een).
3. Voor een rij disjuncte gebeurtenissen ${\displaystyle (A_{k})}$, dus met ${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\emptyset }$ voor ${\displaystyle i\neq j}$, geldt:

${\displaystyle P\left(\bigcup A_{k}\right)=\sum P(A_{k})}$.

(In woorden: voor een rij (of aftelbare verzameling) gebeurtenissen die niet tegelijkertijd kunnen optreden, kan de kans dat een van deze gebeurtenissen optreedt, berekend worden als de som van de kansen op de afzonderlijke gebeurtenissen.)

Een dergelijk drietal ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ heet kansruimte en is een bijzonder geval van een maatruimte.

Opmerking: In de verzamelingenleer is gedefinieerd:

${\displaystyle B\setminus A=\{x|x\in B,x\notin A\}}$

Uit bovenstaande axioma's zijn de volgende eigenschappen afleidbaar:

• ${\displaystyle P(\emptyset )=0}$

immers, ${\displaystyle \emptyset \cap \emptyset =\emptyset }$; er geldt dus

${\displaystyle P(\emptyset )=P(\emptyset \cup \emptyset )=P(\emptyset )+P(\emptyset )}$

• als ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}}$, een eindig aantal paarsgewijs disjuncte gebeurtenissen is (elk tweetal heeft een lege doorsnede), dan geldt: ${\displaystyle P(A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \cup A_{n})=P(A_{1})+P(A_{2})+\ldots +P(A_{n})}$

immers, ${\displaystyle Pr(A_{1}\cup A_{2}\cup \ldots \cup A_{n})=P(A_{1}\cup A_{2}\cup \ldots \cup A_{n}\cup \emptyset \cup \emptyset \cup \ldots )}$

${\displaystyle =P(A_{1})+P(A_{2})+\ldots +P(A_{n})}$

• als ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}}$ paarsgewijs disjuncte gebeurtenissen zijn, en ${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \ldots \cup A_{n}=\Omega }$, dan geldt ${\displaystyle P(A_{1})+P(A_{2})+\ldots +P(A_{n})=1}$

dit volgt uit axioma 3, door de keuze ${\displaystyle A_{k}=\emptyset }$, voor k>n in combinatie met axioma 2

• als ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ gebeurtenissen zijn, geldt

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)}$

want ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B\setminus A}$ zijn disjunct, zodat ${\displaystyle P(A\cup B)=P(A\cup (B\setminus A))=P(A)+P(B\setminus A)}$

ook zijn ${\displaystyle B\setminus A}$ en ${\displaystyle A\cap B}$ disjunct

(immers ${\displaystyle x\in B\setminus A\implies x\notin A}$ en ${\displaystyle x\in A\cap B\implies x\in A}$)

zodat ${\displaystyle P(B)=P(B\setminus A)+P(A\cap B)}$

• Maattheorie
• Statistiek
• Verzamelingenleer