Lemma van Schwarz

Laat ${\displaystyle D=\{z:|z|<1\}}$ een open eenheidsschijf zijn in het complexe vlak ${\displaystyle \mathbb {C} }$ die gecentreerd is om de oorsprong, en laat

${\displaystyle f:D\to D}$

een holomorfe afbeelding zijn die de oorsprong invariant laat, dat is,

${\displaystyle f(0)=0}$.

Het lemma van Schwarz stelt dat voor alle ${\displaystyle z\in D}$ geldt

${\displaystyle |f(z)|\leq |z|}$

en dat

${\displaystyle |f'(0)|\leq 1}$.

Verder als voor enige ${\displaystyle z\neq 0}$

${\displaystyle |f(z)|=|z|}$

of als

${\displaystyle |f'(0)|=1,}$

dan is ${\displaystyle f}$ een rotatie, dat wil zeggen dat er een ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$ met ${\displaystyle |a|=1}$, zo, dat

${\displaystyle f(z)=az}$

Het lemma van Schwartz is minder bekend dan sterkere stellingen, zoals de afbeeldingstelling van Riemann, dat het mede helpt te bewijzen. Het lemma van Schwartz is een van de minder moeilijke resultaten die de rigiditeit van holomorfe functies aantoont.

• Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (Compacte Riemann-oppervlakken) (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X (Zie sectie 2.3)
• S. Dineen, The Schwarz Lemma. Oxford (1989). ISBN 0-19-853571-6.

• (en) Lemma van Schwartz op PlanetMath