Welgefundeerde relatie

In de wiskunde heet een irreflexieve tweeplaatsige relatie $R$ op een klasse $X$ welgefundeerd, als elke niet-lege deelverzameling $S$ van $X$ een element $m$ bevat dat geen voorganger heeft, wat in dit verband betekent dat er geen element $s\in S,$ is waarvoor het paar $(s,m)$ tot de relatie $R$ behoort. Het is dus niet mogelijk dat er een hele keten van elementen is waarvan elk een voorganger heeft, en die dus oneindig doorloopt.

Definitie

De irreflexieve tweeplaatsige relatie $R\subseteq X\times X$ heet welgefundeerd, als voor alle $S\subseteq X,\ S\neq \varnothing$ er een $m\in S$ bestaat zodanig, dat voor alle $s\in S$

(s,m)\notin R

Sommige auteurs nemen de extra voorwaarde op dat $R$ verzamelingachtig moet zijn, dat wil zeggen dat de elementen kleiner dan een gegeven element een verzameling vormen.

Men kan bewijzen, zij het onder de veronderstelling dat het keuzeaxioma geldt, dat de relatie $R$ dan en slechts dan welgefundeerd is, als er geen oneindig aflopende ("dalende") keten is, d.w.z. dat er in $X$ geen keten $x_{1},x_{2},\ldots$ is met $x_{n+1}Rx_{n}$ voor elke natuurlijke $n.$

Partiële orde

Een relatie die niet irreflexief is, is volgens bovenstaande definitie niet welgefundeerd. Een partiële orde is refelexief en kan daarom volgens de definitie niet welgefundeerd zijn, Als echter de bijbehorende strikte partiële orde welgefundeerd is, wordt aanvullend de partiële orde zelf ook als welgefundeerd beschouwd.

Voorbeeld

De relatie "voorganger" ( $\prec$ ) op de natuurlijke getallen, gedefinieerd als $n\prec m\Leftrightarrow n+1=m$ is welgefundeerd. Iedere niet-lege deelverzameling van natuurlijke getallen heeft immers een kleinste element, dat dus geen voorganger heeft.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.