Toegankelijkheidsrelatie

Het is mogelijk om beperkingen op te leggen aan wat wel en niet een geldige toegankelijkheidsrelatie is. Zo kan men modellen beschouwen waarin elke wereld ook toegankelijk is vanuit zichzelf: de toegankelijkheidsrelatie ${\displaystyle R}$ is dan een reflexieve relatie aangezien er voor elke wereld ${\displaystyle w}$ een element ${\displaystyle (w,w)\in R}$ bestaat.

Enkele bekende kenmerken van een frame (de verzameling ${\displaystyle W}$ en de toegankelijkheidsrelatie ${\displaystyle R}$) zijn:

• ${\displaystyle \forall w\in W\quad (w,w)\in R}$ (reflexiviteit)
• ${\displaystyle \forall w,v,u\in W\quad (w,v)\in R}$ en ${\displaystyle (v,u)\in R\Rightarrow (w,u)\in R}$ (transitiviteit)
• ${\displaystyle \forall w,v\in W\quad (w,v)\in R\Rightarrow (v,w)\in R}$ (symmetrie)
• ${\displaystyle \forall w,v,u\in W\quad (w,v)\in R}$ en ${\displaystyle (w,u)\in R\Rightarrow (v,u)\in R}$ (euclidiciteit)
• ${\displaystyle \forall w\in W\ \exists v\in W\ (w,v)\in R}$ (serialiteit)

Door de toegankelijkheidsrelatie van een frame te beperken zijn er formules die waar zijn voor elke wereld in een model met dat frame. In een model met een reflexieve toegankelijkheidsrelatie geldt bijvoorbeeld de formule ${\displaystyle \Box \phi \rightarrow \phi }$ in elke wereld. In een propositionele modale logica waarbij er geen beperkingen op de toegankelijkheidsrelatie worden gelegd, zijn alle propositionele tautologieën en het K-axioma - ${\displaystyle \Box (\phi \rightarrow \psi )\rightarrow (\Box \phi \rightarrow \Box \psi )}$ - waar voor alle werelden in een model. In een model met beperkingen op de toegankelijkheidsrelatie zijn meer formules waar: het modale systeem wordt dus uitgebreid met meer axioma's die gelden.

Voor elk van de bovenstaande eigenschappen bestaat een axioma die geldt op frames met die eigenschap. Hieronder staan de axioma's die gelden op frames met bepaalde kenmerken:

• reflexiviteit: ${\displaystyle \Box \phi \rightarrow \phi }$ (ook bekend als het M-axioma)
• transitiviteit: ${\displaystyle \Box \phi \rightarrow \Box \Box \phi }$ (4-axioma)
• symmetrie: ${\displaystyle \phi \rightarrow \Box \Diamond \phi }$ (B-axioma)
• euclidiciteit: ${\displaystyle \Diamond \phi \rightarrow \Box \Diamond \phi }$ (5-axioma)
• serialiteit: ${\displaystyle \Box \phi \rightarrow \Diamond \phi }$ (D-axioma)

Men kan bewijzen dat voor elk frame met de eigenschap het bijbehorende axioma geldt en andersom. Deze overeenkomsten tussen axioma's die gelden in een modaal systeem en de eigenschappen van een frame wordt correspondentie genoemd.

De bovenstaande axioma's kunnen gebruikt worden om een logisch systeem samen te stellen dat alle modale formules op bepaalde frames kan afleiden. Zo is het mogelijk om met het volgende systeem alle formules af te leiden die geldig zijn op elk frame:

Alle propositionele tautologieën

Het K-axioma: ${\displaystyle \Box (\phi \rightarrow \psi )\rightarrow (\Box \phi \rightarrow \Box \psi )}$

De necessesitatie-regel: als ${\displaystyle \phi }$ dan ${\displaystyle \Box \phi }$[1]

Modus ponens: als ${\displaystyle \phi }$ en ${\displaystyle \phi \rightarrow \psi }$ dan ${\displaystyle \psi }$.

Een modale formule wordt afgeleid door axioma's te introduceren en door afleidingsregels toe te passen hierop en eventueel de resultaten daarvan. Door axioma's toe te voegen aan het systeem wordt het systeem stricter gemaakt en gelden sommige afgeleide formules alleen nog op bepaalde typen frames. Door bijvoorbeeld aan het bovenstaande systeem het axioma ${\displaystyle \Box \phi \rightarrow \phi }$ toe te voegen, krijgt men een systeem dat formules kan afleiden die gelden op reflexieve frames.

Een voorbeeld van een afleiding: de formule ${\displaystyle \Box p\rightarrow \Box p}$ geldt op alle frames wat als volgt aangetoond kan worden:

1.	${\displaystyle p\rightarrow p}$	(axioma)
2.	${\displaystyle \Box (p\rightarrow p)}$	(necessitatie, 1)
3.	${\displaystyle \Box (p\rightarrow p)\rightarrow (\Box p\rightarrow \Box p)}$	(K-axioma)
4.	${\displaystyle \Box p\rightarrow \Box p}$	(modus ponens, 2, 3)