Stelling van Thales (cirkels)
Stelling
De door de Griekse wiskundige/filosoof Thales van Milete geformuleerde stelling van Thales aangaande cirkels luidt:
Een driehoek ingeschreven in een cirkel, en waarvan één zijde een middellijn van de cirkel vormt, is een rechthoekige driehoek.
Dit geeft een eenvoudige manier om een rechthoekige driehoek te construeren:
- Teken een lijn.
- Teken een cirkel met middelpunt O op de lijn. Noem de snijpunten van de lijn met de cirkel respectievelijk A en C.
- Neem een willekeurig punt B op de cirkel dat niet samenvalt met A of C.
- Verbind de punten A en C met het willekeurige punt B.
De driehoek is rechthoekig met de rechte hoek in B, en heeft als schuine zijde AC.
Ook de omgekeerde stelling van Thales is geldig: Een rechthoekige driehoek wordt omgeschreven door de cirkel met de hypotenusa als middellijn.
Bewijs met behulp van eigenschappen van gelijkbenige driehoeken
Deze stelling is simpel te bewijzen met behulp van de figuur hiernaast. Aangezien O het middelpunt van de cirkel is, is de afstand OA gelijk aan OB en zijn de hoeken α gelijk. Een analoog argument laat zien dat de hoeken β gelijk zijn. Voor de driehoek ABC geldt dat de som der hoeken gelijk is aan 180°. Hieruit volgt dat α + (α + β) + β = 180° en dus dat α + β = 90°.
Bewijs met behulp van de eigenschap van een rechthoek
Zie het figuur bij het bewijs met behulp van eigenschappen van gelijkbenige driehoeken.
- Construeer een punt D in het verlengde van BO waarbij |DO| = |BO|
- |BD| = |AC| beide zijn middellijnen van de getekende cirkel.
- BD en AC snijden elkaar in het midden bij O
- Uit 2 en 3 blijkt dat de vierhoek ADCB een rechthoek is, en de hoek in B dus een rechte hoek is.
Bewijs met behulp van de stelling van Thales voor rechten
Een ander bewijs volgt uit de omgekeerde stelling van Thales. Construeer uit punt O de loodlijn op een van de rechthoekszijden, bijvoorbeeld op BC. Aangezien de driehoek OBC een gelijkbenige driehoek is, met |OB| en |OC| even groot, verdeelt de lijn OM het lijnstuk BC twee gelijke delen BM en MC. Hieruit volgt dat de verhouding van |OC| tot |OA| gelijk is aan de verhouding van |MC| tot |MB| (beide verhoudingen zijn immers gelijk aan 1).
Door de omgekeerde stelling van Thales hierop toe te passen, weten we dat de lijn OM evenwijdig is met AB. Aangezien OM loodrecht staat op BC, volgt daaruit dat ook AB loodrecht staat op BC, dus dat de driehoek ABC een rechthoekig is in B.