Stelling van Pompeiu
De stelling van Pompeiu is een stelling in de meetkunde, genoemd naar de Roemeense wiskundige Dimitrie Pompeiu (1873-1954), die luidt
- Gegeven een gelijkzijdige driehoek ABC en een punt P, dan zijn de lijnstukken AP, BP en CP de zijden van een (eventueel ontaarde) driehoek.
![](../I/m/Pompeiu_theorem1.svg.png)
De betekenis van de stelling is dus dat de som van twee van de lijnstukken vanuit P niet kleiner is dan het derde lijnstuk.
Er is een eenvoudig bewijs: Roteer A, B en P over 60° om het punt C, zodat A terechtkomt op B. Laat B' en P' de beelden zijn van B en P. We zien dat PC = P'C en ∠PCP' = 60°. Dus is PCP' een gelijkzijdige driehoek en PP' = PC. Natuurlijk is ook PA = P'B. Dus is PBP' een driehoek met zijden gelijk aan PA, PB en PC. Daarmee is het bewijs door constructie compleet.
![](../I/m/Pompeiu_theorem2.svg.png)
De driehoek met lengtes van zijden AP, BP en CP is dan en slechts dan ontaard, als P op de omgeschreven cirkel van driehoek ABC ligt.
De stelling van Pompeiu is overigens een direct gevolg van de Stelling van Ptolemaeus.
De stelling van Pompeiu blijft geldig als P niet in hetzelfde vlak ligt als driehoek ABC.
Externe link
- MathWorld
- Jozsef Sandor: On the Geometry of Equilateral Triangles. Forum Geometricorum, Volume 5 (2005), pp. 107–117