Simultane verdeling

Een discrete simultane verdeling wordt bepaald door de simultane kansfunctie van discrete stochasten. Dat is een niet-negatieve functie

${\displaystyle p(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=P(X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},\ldots ,X_{n}=x_{n})}$

waarvoor geldt

${\displaystyle \sum _{x_{1},\ldots ,x_{n}}p(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=1}$,

waarbij wordt gesommeerd over alle mogelijke waarden van ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$.

Voor de discrete simultane verdelingsfunctie ${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ geldt:

${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=P(X_{1}\leq x_{1},X_{2}\leq x_{2},\ldots ,X_{n}\leq x_{n})=\sum _{u_{1}\leq x_{1},\ldots ,u_{n}\leq x_{n}}f(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n})}$

De multinomiale verdeling is een discrete simultane verdeling.

Een continue simultane verdeling wordt bepaald door de simultane kansdichtheid van continue stochasten. Dat is een niet-negatieve, stuksgewijs continue functie

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$

waarvoor geldt:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\ldots \int _{-\infty }^{\infty }f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,{\rm {d}}x_{n}\ldots {\rm {d}}x_{2}{\rm {d}}x_{1}=1}$

Voor de continue simultane verdelingsfunctie ${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ geldt:

${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\int _{-\infty }^{x_{1}}\int _{-\infty }^{x_{2}}\ldots \int _{-\infty }^{x_{n}}f(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n})\,{\rm {d}}u_{n}\ldots {\rm {d}}u_{2}{\rm {d}}u_{1}}$

De bivariate normale verdeling en de multivariate normale verdeling zijn continue simultane verdelingen.

De simultane verdeling van een aantal stochastische variabelen bepaalt ook de verdeling van elk van de variabelen afzonderlijk. Omdat een dergelijke verdeling in het discrete geval in de marge van de tabel met kansen verschijnt, wordt deze verdeling in dit verband wel aangeduid als marginale verdeling.

In het discrete geval verkrijgt men de marginale verdeling door te sommeren. Zo is de (marginale) kansfunctie van de discrete stochastische variabele ${\displaystyle X_{1}}$:

${\displaystyle p_{X_{1}}(x_{1})=\sum _{x_{2},\ldots ,x_{n}}p(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$

In het continue geval verkrijgt men de marginale verdeling door te integreren. Zo is de (marginale) kansdichtheid van de continue stochastische variabele ${\displaystyle X_{1}}$.

${\displaystyle f_{X_{1}}(x_{1})=\int _{-\infty }^{\infty }\ldots \int _{-\infty }^{\infty }f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,{\rm {d}}x_{n}\ldots {\rm {d}}x_{2}}$