Hoofdstelling van de integraalrekening

De hoofdstelling van de integraalrekening bestaat uit twee delen. Het eerste deel stelt dat de integraal van een functie een primitieve functie is en het tweede doet de omgekeerde uitspraak: een primitieve functie geeft de integraal van een functie, op een constante na. Primitieve functie, alleen primitieve, stamfunctie en onbepaalde integraal zijn hetzelfde.

Eerste deel

Zij ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ een reële continue functie is op het interval ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$, dan is voor alle ${\displaystyle x_{0}\in [a,b]}$ de functie

${\displaystyle F:[a,b]\to \mathbb {R} }$ met ${\displaystyle F(x):=\int _{x_{0}}^{x}f(t){\rm {d}}t}$

afleidbaar en een primitieve functie voor ${\displaystyle f}$, dat wil zeggen ${\displaystyle F^{\prime }(x)=f(x)}$ voor alle ${\displaystyle x\in [a,b].}$

Tweede deel

Het tweede deel van de stelling maakt duidelijk dat men de integraal van een functie kan berekenen aan de hand van een primitieve functie:

Zij ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ een continue functie met primitieve functie ${\displaystyle F:[a,b]\to \mathbb {R} ,}$ dan geldt:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x){\rm {d}}x=F(b)-F(a)}$

Intuïtieve verklaring

Het blauw gearceerde gebied geeft de integraal ${\displaystyle A(x)}$ van de functie ${\displaystyle f}$, tussen ${\displaystyle 0}$ en ${\displaystyle x}$. Het rode gebied is gelijk aan ${\displaystyle h\,f(x)}$. Anderzijds is de oppervlakte ook ongeveer gelijk aan ${\displaystyle A(x+h)-A(x)}$. Voor kleine ${\displaystyle h}$ moet dus ${\displaystyle h\,f(x)\approx A(x+h)-A(x)}$.

Het is mogelijk de bovenstaande stellingen te zien op een tekening. Stel dat men een functie ${\displaystyle y=f(x)}$ beschouwt. Men kan de oppervlakte onder de grafiek, boven het interval ${\displaystyle [0,x]}$ noteren met ${\displaystyle A(x).}$ Deze functie is dan de integraal van ${\displaystyle f}$. Het verschil ${\displaystyle A(x+h)-A(x)}$ is dan de oppervlakte onder de grafiek, boven het interval ${\displaystyle [x,x+h]}$. Indien ${\displaystyle h}$ klein is, is die oppervlakte ongeveer gelijk aan ${\displaystyle hf(x).}$ Bijgevolg is

${\displaystyle f(x)\approx {\frac {A(x+h)-A(x)}{h}}}$

Als ${\displaystyle h}$ erg klein is, staat rechts ongeveer de afgeleide van ${\displaystyle A.}$ In woorden: de afgeleide van de integraal is dus de oorspronkelijke functie ${\displaystyle f.}$ Dat is de kern van de hoofdstelling van de integraalrekening.

Om het eerste deel te bewijzen, moet men aantonen dat de afgeleide van ${\displaystyle F(x),}$ gegeven door ${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {F(x+h)-F(x)}{h}},}$ bestaat en gelijk is aan ${\displaystyle f(x).}$

Eerste deel

Kies een vaste ${\displaystyle x\in [a,b]}$ en een voldoende kleine ${\displaystyle h\neq 0}$ zodat ${\displaystyle x+h\in [a,b].}$ Dan geldt

${\displaystyle {\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}={\frac {1}{h}}\left(\int _{x_{0}}^{x+h}f(t)\,{\rm {d}}t-\int _{x_{0}}^{x}f(t)\,{\rm {d}}t\right)={\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}f(t)\,{\rm {d}}t~.}$

Beschouw het object in het rechterlid hierboven. Omwille van de middelwaardestelling bestaat er een reëel getal ${\displaystyle \xi _{h}}$ tussen ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle x+h}$, zodat

${\displaystyle \int _{x}^{x+h}f(t)\,{\rm {d}}t=h\cdot f(\xi _{h})}$

Indien men nu ${\displaystyle h\to 0}$ laat gaan, moet ${\displaystyle \xi _{h}\to x}$ en dus ook ${\displaystyle f(\xi _{h})\to f(x)}$ vanwege de continuïteit van ${\displaystyle f.}$ Bijgevolg is

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}f(\xi _{h})=f(x)}$

Dit betekent precies dat de afgeleide van ${\displaystyle F}$ ter hoogte van ${\displaystyle x}$ bestaat en gelijk is aan ${\displaystyle f(x)}$.

Tweede deel

Het bewijs van het tweede deel volgt uit het eerste. Stel dat men een primitieve functie ${\displaystyle F}$ heeft. Omwille van het eerste deel is ook de functie ${\displaystyle F_{a}}$, gedefinieerd als

${\displaystyle F_{a}:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ met ${\displaystyle F_{a}(x):=\int _{a}^{x}f(t){\rm {d}}t}$

een primitieve functie. Bijgevolg zijn beiden, als primitieve functies van ${\displaystyle f,}$ op een constante na gelijk: ${\displaystyle F_{a}(x)=F(x)+c}$ voor een bepaald getal ${\displaystyle c.}$ Dan is

${\displaystyle F(b)-F(a)=F_{a}(b)-F_{a}(a)=\int _{a}^{b}f(x){\rm {d}}x-\int _{a}^{a}f(x){\rm {d}}x=\int _{a}^{b}f(x){\rm {d}}x}$

Wat het tweede deel van de stelling bewijst.

Volgens de hoofdstelling is het berekenen van de oppervlakte onder een functie ${\displaystyle f}$ herleid tot het zoeken van een primitieve functie ${\displaystyle F}$ van ${\displaystyle f.}$ Stel dat men de oppervlakte onder de functie ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ wil kennen, zeg tussen de punten ${\displaystyle x=0}$ en ${\displaystyle x=2}$. De functie ${\displaystyle F(x)=x^{3}/3}$ is een voorbeeld van een primitieve functie van ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$.

${\displaystyle \int _{0}^{2}x^{2}\,\mathrm {d} x=F(2)-F(0)={\tfrac {2^{3}}{3}}-{\tfrac {0^{3}}{3}}={\tfrac {8}{3}}}$

Dankzij het verband met afleiden, kan men een aantal zeer nuttige rekenregels opstellen voor het uitvoeren van integralen. De productregel voor afleiden kan men met de hoofdstelling vertalen naar de techniek van partiële integratie. Op gelijkaardige manier kan men de kettingregel gebruiken om de substitutieregel van integralen aan te tonen. Deze technieken laten toe om van een zeer breed gamma van functies de integraal te bepalen. Het is niet zo, dat van alle functies een primitieve functie is te berekenen, van de meeste functies wel. Wanneer van een functie ${\displaystyle f}$ de primitieve functie ${\displaystyle F}$ niet is te berekenen, kan op deze manier dus niet het oppervlakte tussen ${\displaystyle f}$ en de ${\displaystyle x}$-as worden berekend. Bij de meeste functies is wel een primitieve functie te berekenen.

• Werkblad, oefeningen en uitleg, over de hoofdstelling van de integraalrekening.