Relative neighborhood graph

De relative neighborhood graph (RNG) van een verzameling S van punten in het Euclidische vlak is een graaf waarin twee punten p en q verbonden zijn door een kant als er geen enkel ander punt in S dichter bij p en q ligt dan p en q zelf. p en q zijn dan "relatieve buren" van elkaar.

De relative neighborhood graph van een verzameling van 100 punten

Als d(p,q) de afstand is tussen p en q, betekent dit dat p en q relatieve buren zijn als en slechts als:

d(p,q) ≤ max{d(p,r), d(q,r)} voor alle r in S verschillend van p en q.

In meetkundige zin kan men deze eis als volgt interpreteren: teken een cirkel met straal gelijk aan de afstand d(p,q) en middelpunt p. Teken een tweede cirkel met zelfde straal en middelpunt q. De lensvormige doorsnede van beide cirkels is de verzameling punten die dichter bij p en q liggen dan de afstand d(p,q). Deze doorsnede mag geen punten van S bevatten.

Godfried Toussaint introduceerde het begrip RNG in 1980 als hulpmiddel voor patroonherkenning.[1] Met de RNG zouden structuren in een verzameling punten naar voor komen die overeenkomen met wat mensen erin zien.

Veralgemening

Omdat het begrip RNG enkel gedefinieerd is in termen van afstand tussen punten, kan het veralgemeend worden naar puntenverzamelingen in hogere dimensies, of naar niet-Euclidische metrieken.

Verwante grafen

De RNG is een subgraaf van de Delaunay-triangulatie DT van S en een supergraaf van de minimaal opspannende boom (MOB) van S:

MOB(S) ⊆ RNG(S) ⊆ DT(S)

De RNG kan uit de Delaunay-triangulatie berekend worden in lineaire tijd.[2]

De Gabrielgraaf GG is een graaf die het begrip "naburig" op een andere manier definieert. De RNG is een subgraaf van de GG.

De Urquhartgraaf UG, die men bekomt door de langste zijde in elke driehoek van de Delaunay-triangulatie te verwijderen, werd oorspronkelijk voorgesteld als zijnde gelijk aan de RNG; maar nadien is bewezen dat de UG soms groter is dan de RNG. De UG kan wel gebruikt worden als goede benadering van de RNG.

De nearest neighbor graph NNG is de eenvoudigste "nabijheids"graaf. Daarin is elk punt verbonden met zijn dichtstbijzijnde buur.

In het algemeen geldt de volgende hiërarchie:

NNG(S) ⊆ MOB(S) ⊆ RNG(S) ⊆ UG(S) ⊆ GG(S) ⊆ DT(S)

De NNG is in het algemeen een onsamenhangende, gerichte graaf. De MOB en de andere grafen zijn samenhangende, niet gerichte grafen. Men noemt deze hiërarchie weleens de Toussaint hierarchie.[3]

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.