Gabrielgraaf

De Gabrielgraaf is een graaf die de "geografische verbondenheid" van een gegeven verzameling van punten uitdrukt. K. Rubel Gabriel en Robert R. Sokal[1] definieerden een graaf waarin twee punten a en b met elkaar verbonden zijn enkel indien alle andere punten buiten de cirkel met middellijn ab liggen. De graaf die men dan bekomt noemt men de Gabrielgraaf. De definitie kan uitgebreid worden naar 3 of meer dimensies.

Punten a en b zijn "Gabriel-buren" omdat er geen andere punten in de cirkel met diameter ab liggen

Gabrielgraaf van een verzameling van 100 punten

Als ${\displaystyle d(a,b)}$ de Euclidische afstand tussen punten a en b voorstelt, betekent dit dat a en b dan en slechts dan verbonden worden als:

${\displaystyle d(a,b)^{2}<d(a,c)^{2}+d(c,b)^{2}}$

voor elk punt c in de verzameling verschillend van a en b.

Men kan bewijzen dat de Gabrielgraaf een subgraaf is van de Delaunay-triangulatie. En ook dat elke minimaal opspannende boom van de verzameling punten een subgraaf is van de Gabrielgraaf.

Gabriel en Sokal waren geen wiskundigen maar biologen die een hulpmiddel zochten om de geografische variaties te beschrijven van metingen of observaties op verschillende plaatsen. De Gabrielgraaf verbindt plaatsen die "in elkaars buurt" liggen, de graaf beeldt het begrip "nabijheid" of "verbondenheid" uit. In de Delaunay-triangulatie, als de duale graaf van het Voronoi-diagram, is dat ook het geval, maar op een andere manier. Nog een andere graaf die "nabuurschap" uitdrukt is de "relative neighborhood graph". Dit is ook een subgraaf van de Gabrielgraaf.