Ophefbare singulariteit

In de complexe analyse is een ophefbare singulariteit (soms verwijderbare singulariteit genoemd) van een holomorfe functie een punt waarin deze functie ongedefinieerd is, maar waarin zij zo gedefinieerd kan worden dat zij holomorf blijft op het met dit singuliere punt uitgebreide domein.

De functie

f(z)={\frac {\sin z}{z}},\quad z\neq 0

bijvoorbeeld heeft een singulariteit in $z=0$ . Deze singulariteit kan worden opgeheven door $f(0)=1$ te definiëren. De resulterende functie, aangeduid als $sinc$ , is een continue, in feite holomorfe functie.

Definitie

Als $U$ een open deelverzameling van het complexe vlak is, $a$ een punt van $U$ is en $f:U\setminus \{a\}\to \mathbb {C}$ een holomorfe functie is, dan wordt $a$ een ophefbare singulariteit voor $f$ genoemd, indien er een holomorfe functie $g:U\to \mathbb {C}$ bestaat, die samenvalt met $f$ op $U\setminus \{a\}$ . In dat geval heet $f$ holomorf uitbreidbaar in $a$ .

Stelling van Riemann

De stelling van Riemann geeft aan wanneer een singulariteit ophefbaar is.

Stelling

Zij $f$ , $U$ en $a$ als in de bovenstaande definitie. Dan zijn de volgende uitspraken equivalent:

$f$ is holomorf uitbreidbaar in het punt $a$ .
$f$ is continu uitbreidbaar in $a$ .
$f$ is begrensd in een omgeving van $a$ .
$\lim _{z\to a}\ (z-a)f(z)=0$ .

Bewijs

Gemakkelijk is in te zien dat: 1) ⇒ 2) ⇒ 3) ⇒ 4). Voor het bewijs van 4) ⇒ 1) bedenken we dat het voldoende is aan te tonen dat $f$ analytisch is in $a$ , dat wil zeggen dat $f$ een machtreeksontwikkeling heeft in $a$ . We definiëren daartoe:

h(z)={\begin{cases}(z-a)^{2}f(z)&z\neq a,\\0&z=a\end{cases}}

Dan is:

h(z)-h(a)=(z-a)(z-a)f(z)

,

waarin $(z-a)(z-a)f(z)$ , volgens 4), een continue functie is op $U$ . Dus is $h$ holomorf op $U$ en heeft een Taylorreeksontwikkeling rond $a$ :

h(z)=a_{2}(z-a)^{2}+a_{3}(z-a)^{3}+\ldots

Maar dan is $g(z)={\frac {h(z)}{(z-a)^{2}}}$ een holomorfe uitbreiding van $f$ in $a$ .

Zie ook

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.