Oortconstanten

Het gaat om twee getallen ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ [3] [4] [5] [6] [7]

${\displaystyle {\begin{aligned}&A={\frac {1}{2}}\left({\frac {V_{0}}{R_{0}}}-{\frac {dv}{dr}}{\Bigg \vert }_{R_{0}}\right)\\&B=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {V_{0}}{R_{0}}}+{\frac {dv}{dr}}{\Bigg \vert }_{R_{0}}\right)\\\end{aligned}}}$

met ${\displaystyle V_{0}}$ en ${\displaystyle R_{0}}$ repectievelijk de snelheid en de afstand tot het Melkwegcentrum, van een bewegende ster, gemeten op de plaats van Zon. ${\displaystyle v}$ en ${\displaystyle r}$ zijn de snelheid en afstand voor sterren in het algemeen in de buurt van de Zon in onze Melkweg. ${\displaystyle v}$ is een functie ${\displaystyle v(r)}$ van de afstand ${\displaystyle r}$. De oortconstanten ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ blijken alleen af te hangen van de gemiddelde bewegingen en posities van sterren in de buurt van de Zon. In 2018 waren de beste waarden ${\displaystyle A}$ = 15,3 ± 0,4 km s⁻¹ kpc⁻¹ (kpc = kiloparsec, 1000 parsec) en ${\displaystyle B}$ = −11,9 ± 0,4 km s⁻¹ kpc⁻¹. [8][9] Met deze oortconstanten kan de snelheid en de omlooptijd van de Zon worden bepaald, en verder de massa van het Melkwegstelsel en het verband tussen omloopsnelheid en afstand tot het Melkwegcentrum. Met de oortconstante B kan de frequentie worden uitgerekend van de kleinere ellipsbeweging (op een epicykel) die een ster uitvoert rond een evenwichtspositie terwijl hij om het Melkwegcentrum draait.

We gaan uit van een ster in het vlak van de Melkwegschijf met een Galactische lengte ${\displaystyle l}$ (in graden) op een afstand ${\displaystyle d}$ van de Zon (zie de figuur). De afleiding waarin twee heen en weer gaande bewegingen een rol spelen, lijkt op die van de dubbele slinger met sinus en cosinus. Zowel die ster als de Zon beschrijven in goede benadering cirkelvormige banen om het Melkwegcentrum met stralen ${\displaystyle R}$ en ${\displaystyle R_{0}}$ respectievelijk en snelheden ${\displaystyle V}$ en ${\displaystyle V_{0}}$. De snelheid van de ster langs onze gezichtslijn, de radiële snelheid ${\displaystyle V_{\text{obs, r}}}$, en de snelheid van de ster in het vlak van de hemel, de transversale snelheid ${\displaystyle V_{\text{obs, t}}}$ (haaks op de radiële snelheid), zoals die wordt waargenomen vanaf de plaats van de Zon worden:

${\displaystyle {\begin{aligned}&V_{\text{obs, r}}=V_{\text{star, r}}-V_{\text{sun, r}}=V\cos \left(\alpha \right)-V_{0}\sin \left(l\right)\\&V_{\text{obs, t}}=V_{\text{star, t}}-V_{\text{sun, t}}=V\sin \left(\alpha \right)-V_{0}\cos \left(l\right)\\\end{aligned}}}$

Voor een cirkelbeweging is de snelheid verbonden met de hoeksnelheid volgens ${\displaystyle v=\Omega r}$. Dit kunnen we invullen in de formules:

${\displaystyle {\begin{aligned}&V_{\text{obs, r}}=\Omega R\cos \left(\alpha \right)-\Omega _{0}R_{0}\sin \left(l\right)\\&V_{\text{obs, t}}=\Omega R\sin \left(\alpha \right)-\Omega _{0}R_{0}\cos \left(l\right)\\\end{aligned}}}$

In de figuur zien we dat de driehoeken met Melkwegcentrum, zon en de ster zijden of delen daarvan gemeen hebben, zodat:

${\displaystyle {\begin{aligned}&R\cos \left(\alpha \right)=R_{0}\sin \left(l\right)\\&R\sin \left(\alpha \right)=R_{0}\cos \left(l\right)-d\\\end{aligned}}}$

en

${\displaystyle {\begin{aligned}&V_{\text{obs, r}}=\left(\Omega -\Omega _{0}\right)R_{0}\sin \left(l\right)\\&V_{\text{obs, t}}=\left(\Omega -\Omega _{0}\right)R_{0}\cos \left(l\right)-\Omega d\\\end{aligned}}}$

Om alles uit te drukken in de bekende grootheden ${\displaystyle l}$ en ${\displaystyle d}$ maken we een Taylorontwikkeling van ${\displaystyle \Omega -\Omega _{0}}$ rond ${\displaystyle R_{0}}$.

${\displaystyle \left(\Omega -\Omega _{0}\right)=\left(R-R_{0}\right){\frac {d\Omega }{dr}}{\Bigg \vert }_{R_{0}}+...}$

Verder nemen we aan dat de sterren hier dichtbij zijn, dat wil zeggen dat ${\displaystyle R-R_{0}}$ klein is en de afstand ${\displaystyle d}$ tot de ster kleiner is dan ${\displaystyle R}$ of ${\displaystyle R_{0}}$ en we schrijven:

${\displaystyle R-R_{0}=-d\cdot \cos \left(l\right)}$.[11]

zodat

${\displaystyle {\begin{aligned}&V_{\text{obs, r}}=-R_{0}{\frac {d\Omega }{dr}}{\Bigg \vert }_{R_{0}}d\cdot \cos \left(l\right)\sin \left(l\right)\\&V_{\text{obs, t}}=-R_{0}{\frac {d\Omega }{dr}}{\Bigg \vert }_{R_{0}}d\cdot \cos ^{2}\left(l\right)-\Omega d\\\end{aligned}}}$

Met de sinus- en cosinusformules voor dubbele hoeken herschrijven we de snelheden tot

${\displaystyle {\begin{aligned}&V_{\text{obs, r}}=-R_{0}{\frac {d\Omega }{dr}}{\Bigg \vert }_{R_{0}}d{\frac {\sin \left(2l\right)}{2}}\\&V_{\text{obs, t}}=-R_{0}{\frac {d\Omega }{dr}}{\Bigg \vert }_{R_{0}}d{\frac {\left(\cos \left(2l\right)+1\right)}{2}}-\Omega d=-R_{0}{\frac {d\Omega }{dr}}{\Bigg \vert }_{R_{0}}d{\frac {\cos \left(2l\right)}{2}}+\left(-{\frac {1}{2}}R_{0}{\frac {d\Omega }{dr}}{\Bigg \vert }_{R_{0}}-\Omega \right)d\\\end{aligned}}}$

De snelheden kunnen nu worden uitgedrukt in ${\displaystyle l}$ en ${\displaystyle d}$ en twee constanten ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}&V_{\text{obs, r}}=Ad\sin \left(2l\right)\\&V_{\text{obs, t}}=Ad\cos \left(2l\right)+Bd\\\end{aligned}}}$

met

${\displaystyle {\begin{aligned}&A=-{\frac {1}{2}}R_{0}{\frac {d\Omega }{dr}}{\Bigg \vert }_{R_{0}}\\&B=-{\frac {1}{2}}R_{0}{\frac {d\Omega }{dr}}{\Bigg \vert }_{R_{0}}-\Omega \\\end{aligned}}}$

Nu zijn de radiële en transversale snelheden een functie van A, B en van de positie van de ster. We kunnen A en B uitdrukken in de draaiing van de Melkweg. Voor een ster in een cirkelbaan kan afgeleide van de hoeksnelheid naar de straal worden uitgerekend met de draaisnelheid en de straal ter plaatse van de zon:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Omega ={\frac {v}{r}}\\&{\frac {d\Omega }{dr}}{\Bigg \vert }_{R_{0}}={\frac {d(v/r)}{dr}}{\Bigg \vert }_{R_{0}}=-{\frac {V_{0}}{R_{0}^{2}}}+{\frac {1}{R_{0}}}{\frac {dv}{dr}}{\Bigg \vert }_{R_{0}}\\\end{aligned}}}$

dus

${\displaystyle {\begin{aligned}&A={\frac {1}{2}}\left({\frac {V_{0}}{R_{0}}}-{\frac {dv}{dr}}{\Bigg \vert }_{R_{0}}\right)\\&B=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {V_{0}}{R_{0}}}+{\frac {dv}{dr}}{\Bigg \vert }_{R_{0}}\right)\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle A}$ is de oortconstante voor de schuine (scherende) beweging en ${\displaystyle B}$ de oortconstante die de draaiing van de Melkweg beschrijft. Uit de grafiek van deze snelheden voor veel sterren tegen hun galactische lengtes zijn ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ af te leiden.

Figuur 2: De oortconstanten A en B kunnen bepaald worden door meetgegevens voor veel sterren aan te passen aan de functie ${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {V_{\text{obs, t}}}{d}}=A\,\cos \left(2l\right)+B\\\end{aligned}}}$.

Met de hierboven gevonden formules voor de radiële en transversale snelheden

${\displaystyle {\begin{aligned}&V_{\text{obs, r}}=A\,d\,\sin \left(2l\right)\\&V_{\text{obs, t}}=A\,d\,\cos \left(2l\right)+B\,d\\\end{aligned}}}$

kunnen we de oortconstanten ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ schrijven als

${\displaystyle {\begin{aligned}&A={\frac {V_{\text{obs, r}}}{d\,\sin \left(2l\right)}}\\&B={\frac {V_{\text{obs, t}}}{d}}-A\,\cos \left(2l\right)\\\end{aligned}}}$

uitgedrukt in de radiële en transversale snelheden, de afstanden en de galactische lengtes van hemellichamen in de Melkweg. Dit zijn waarneembare grootheden.