Minimale polynoom (galoistheorie)

Veronderstel dat L de galois-uitbreiding is van een lichaam K en stel α ∈ L. Als α algebraïsch is over K dan is de verzameling van alle polynomen

${\displaystyle I_{\alpha }=\{f(x)\in K[x]:f(\alpha )=0\}}$

een niet-nul ideaal in K[x]. Hieruit volgt dat deze verzameling wordt voortgebracht door een unieke polynoom ${\displaystyle \,f(x)}$, waarvan de coëfficiënt van de hoogste macht van x gelijk aan 1 is. Dit is de minimale polynoom van α over K genoemd en wordt genoteerd met ${\displaystyle \,f^{\alpha }(x)}$ of met ${\displaystyle f_{K}^{\alpha }(x)}$.[1]

Dit is erop gebaseerd, dat de polynoom van α over K de enige monische irreducibele polynoom in K[x] is, waarvan α een nulpunt is.

Zij ${\displaystyle d\in \mathbb {Q} }$ met ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {d}}\notin \mathbb {Q} }$. Beschouw ${\displaystyle f_{\mathbb {Q} }^{\alpha }(x)=x^{2}-d}$. Deze polynoom is irreducibel want het heeft, wegens de keuze van d, geen nulpunten in ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Hieruit volgt dat ${\displaystyle f_{\mathbb {Q} }^{\alpha }}$ de minimale polynoom is van α over ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. In het bijzonder geldt dat ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]}$ een lichaam (Nederlands) of veld (Belgisch) is.