Interpolatie

Hoe meer punten gebruikt worden voor het construeren van een integratiepolynoom, des te ingewikkelder wordt het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden om de coëfficiënten van de polynoom te bepalen. De methode van Lagrange biedt in dergelijke gevallen uitkomst.

Ter herinnering: de functie ${\displaystyle f(x)}$ moet in de bekende punten voldoen aan

${\displaystyle {\begin{matrix}y_{0}=f(x_{0})\\y_{1}=f(x_{1})\\y_{2}=f(x_{2})\\\vdots \\y_{m}=f(x_{m})\end{matrix}}}$

Het functievoorschrift van ${\displaystyle f(x)}$ zou nu ook als volgt geschreven kunnen worden:

${\displaystyle f(x)=y_{0}\cdot g_{0}(x)+y_{1}\cdot g_{1}(x)+y_{2}\cdot g_{2}(x)+\ldots +y_{m}\cdot g_{m}(x)}$

Hierin zijn ${\displaystyle m+1}$ nieuwe functies ${\displaystyle g_{j}(x)}$ geïntroduceerd. Dit lijkt de situatie gecompliceerder te maken, maar deze functies zijn gemakkelijk af te leiden. Wordt de nieuwe formulering voor ${\displaystyle f(x)}$ namelijk gebruikt in een willekeurige voorwaarde ${\displaystyle i,}$ dan ontstaat:

${\displaystyle y_{i}=f(x_{i})=y_{0}\cdot g_{0}(x_{i})+y_{1}\cdot g_{1}(x_{i})+\ldots +y_{i}\cdot g_{i}(x_{i})+\ldots +y_{m}\cdot g_{m}(x_{i})}$

Het moge duidelijk zijn dat ${\displaystyle g_{i}(x_{i})=1}$ en dat alle andere ${\displaystyle g_{j}(x_{i})=0}$ om de linker- en rechterkant van het =-teken identiek te houden. Oftewel, voor een zekere ${\displaystyle g_{j}(x_{i})}$ geldt

${\displaystyle {\begin{matrix}g_{i}(x_{i})=1\\g_{j}(x_{i})=0{\mbox{ voor }}j\neq i\end{matrix}}}$

Omdat er ${\displaystyle m}$ van zulke voorwaarden zijn, kun je ook zeggen:

${\displaystyle {\begin{matrix}g_{i}(x_{i})=1\\g_{i}(x_{j})=0{\mbox{ voor }}j\neq i\end{matrix}}}$

Met andere woorden: ${\displaystyle x_{j}(j=0,1,\ldots ,i-1,i+1,\ldots ,m)}$ zijn de nulpunten van ${\displaystyle g_{i}(x).}$ Omdat ${\displaystyle f(x)}$ een ${\displaystyle m}$-de-graads polynoom is, is ${\displaystyle g_{i}(x)}$ dat ook. En aangezien er eveneens ${\displaystyle m}$ bekende nulpunten zijn, is ${\displaystyle g_{i}(x)}$ snel gevonden:

${\displaystyle g_{i}(x)=C\cdot (x-x_{0})\cdot (x-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x-x_{i-1})\cdot (x-x_{i+1})\cdot \ldots \cdot (x-x_{m})}$

waarin ${\displaystyle C}$ een nog onbekende factor is. Het is echter al duidelijk te zien dat ${\displaystyle g_{i}(x_{j})=0}$ als ${\displaystyle i\neq j}$ is, ongeacht de waarde van '${\displaystyle C.}$ Maar wat is de waarde van ${\displaystyle C}$ dan? Die volgt uit de eerste voorwaarden die aan deze functie werd gesteld, namelijk dat ${\displaystyle g_{i}(x_{j})=1.}$

${\displaystyle g_{i}(x_{i})=C\cdot (x_{i}-x_{0})\cdot (x_{i}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{i}-x_{i-1})\cdot (x_{i}-x_{i+1})\cdot \ldots \cdot (x_{i}-x_{m})=1}$

waaruit volgt dat

${\displaystyle C={\frac {1}{(x_{i}-x_{0})\cdot (x_{i}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{i}-x_{i-1})\cdot (x_{i}-x_{i+1})\cdot \ldots \cdot (x_{i}-x_{m})}}}$

Dit geeft de lagrange-polynoom, de functie ${\displaystyle g_{j}(x)}$

${\displaystyle g_{i}(x)={\frac {(x-x_{0})\cdot (x-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x-x_{i-1})\cdot (x-x_{i+1})\cdot \ldots \cdot (x-x_{m})}{(x_{i}-x_{0})\cdot (x_{i}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{i}-x_{i-1})\cdot (x_{i}-x_{i+1})\cdot \ldots \cdot (x_{i}-x_{m})}}}$

${\displaystyle g_{i}(x)=\prod _{j=0,j\neq i}^{m}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}}$

De belangrijkste vergelijkingen uit voorgaande afleiding zijn:

${\displaystyle f(x)=y_{0}\cdot g_{0}(x)+y_{1}\cdot g_{1}(x)+y_{2}\cdot g_{2}(x)+\ldots +y_{m}\cdot g_{m}(x)=\sum _{i=0}^{m}{y_{i}\cdot g_{i}(x)}}$

en

${\displaystyle g_{i}(x)=\prod _{j=0,j\neq i}^{m}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}}$

De samenvoeging hiervan is de interpolatieformule van Lagrange:

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{m}\left\{y_{i}\cdot \prod _{j=0,j\neq i}^{m}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}\right\}}$

Een alternatieve en meer bekende schrijfwijze haalt de hulp van een extra functie h(x) erbij:

${\displaystyle h(x)=\prod _{j=0}^{m}(x-x_{j})}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{m}y_{i}\cdot {\frac {h(x)}{(x-x_{i})h'(x_{i})}}}$

Als controle volgt hier de uitwerking voor een geval met twee bekende punten ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ en ${\displaystyle (x_{2},y_{2}):}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{2}\left\{y_{i}\cdot \prod _{j=1,j\neq i}^{2}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}\right\}=y_{1}\cdot {\frac {x-x_{2}}{x_{1}-x_{2}}}+y_{2}\cdot {\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}$

met een handige herschikking van termen krijgt dit een bekender gezicht:

${\displaystyle f(x)={\frac {(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})-x_{1}y_{1}+x_{2}y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\cdot (x-x_{1})+y_{1}}$

De juistheid van de alternatieve formulering van Lagranges formule is voor een interpolatie tussen twee punten ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ ook snel aangetoond:

${\displaystyle h(x)=\prod _{j=0}^{m}(x-x_{j})=(x-x_{1})(x-x_{2})}$

${\displaystyle h'(x)={\frac {\mathrm {d} (x-x_{1})}{\mathrm {d} x}}(x-x_{2})+(x-x_{1}){\frac {\mathrm {d} (x-x_{2})}{\mathrm {d} x}}=(x-x_{2})+(x-x_{1})}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{m}y_{i}\cdot {\frac {h(x)}{(x-x_{i})h'(x_{i})}}=}$

${\displaystyle =y_{1}{\frac {(x-x_{1})(x-x_{2})}{(x-x_{1})(x_{1}-x_{2})}}+y_{2}{\frac {(x-x_{1})(x-x_{2})}{(x-x_{2})(x_{2}-x_{1})}}=y_{1}{\frac {x-x_{2}}{x_{1}-x_{2}}}+y_{2}{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}$

Voor drie punten ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\ (x_{2},y_{2})}$ en ${\displaystyle (x_{3},y_{3})}$ nu:

${\displaystyle f(x)=y_{1}\cdot {\frac {x-x_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\cdot {\frac {x-x_{3}}{x_{1}-x_{3}}}+y_{2}\cdot {\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\cdot {\frac {x-x_{3}}{x_{2}-x_{3}}}+y_{3}\cdot {\frac {x-x_{1}}{x_{3}-x_{1}}}\cdot {\frac {x-x_{2}}{x_{3}-x_{2}}}}$