Kwadratuurformule van Gauss

De Gauss-Legendrekwadratuurformule (GLK-formule) is een speciaal geval van de kwadratuurformule van Gauss. Ze dient om de integraal van een functie ${\displaystyle f(x)}$ te berekenen over het interval ${\displaystyle [-1,\,1]}$. Dat gebeurt door de gewogen som te nemen van de functiewaarden ${\displaystyle f(x_{i})}$ in bepaalde steunpunten ${\displaystyle x_{i}}$ (abscissen). Het aantal abscissen dat in rekening wordt gebracht door de GLK-formule van graad ${\displaystyle n}$ is gelijk aan ${\displaystyle n+1}$.

De abscissen die worden gekozen, liggen vast per graad ${\displaystyle n}$ van GLK-formule en liggen symmetrisch rond 0. Het zijn de oplossingen van de legendreveeltermen van de volgende graad ${\displaystyle n+1}$.

De gewichten ${\displaystyle w_{i}}$ in de som van functiewaardes, liggen vast per graad ${\displaystyle n}$ en per abscis ${\displaystyle x_{i}}$. Ze kunnen berekend worden uit de abscissen ${\displaystyle x_{i}}$ en de legendreveeltermen ${\displaystyle P_{n}}$ van graad ${\displaystyle n}$ aan de hand van volgende formule:

${\displaystyle w_{i}={\frac {2}{(1-x_{i}^{2})\left(P'_{n}(x_{i})\right)^{2}}}}$

De GLK-formule van graad ${\displaystyle n}$ heeft een nauwkeurigheidsgraad van ${\displaystyle 2n+1}$. Dat betekent dat een GLK-formule van graad ${\displaystyle n}$ een veelterm van graad ${\displaystyle 2n+1}$ exact kan integreren. De hoge nauwkeurigheidsgraad, vergeleken met andere numerieke integratiemethodes, is een gevolg van de orthogonaliteit van de legendreveeltermen op het interval ${\displaystyle [-1,\,1]}$.

De achterliggende gedachte van de kwadratuurformule van Gauss is de integraal van een functie te benaderen door de gewogen som van de functiewaarden in een aantal zogeheten steunpunten ${\displaystyle (x_{k})_{k}}$:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x\approx \sum _{k=1}^{n}w_{k}\,f(x_{k})}$

Dit blijkt goed mogelijk te zijn, als de functie benaderd kan worden door een polynoom van voldoend hoge graad

${\displaystyle f(x)\approx P(x)}$

en voor elke ${\displaystyle n}$ de steunpunten en de gewichten ${\displaystyle (w_{k})_{k}}$ eenmalig zo gekozen kunnen worden dat de benadering exact is voor polynomen van maximaal de graad ${\displaystyle 2n-1}$[3]:

${\displaystyle \int _{a}^{b}P(x)\,{\rm {d}}x=\sum _{k=1}^{n}w_{k}\,P(x_{k})}$

Bovendien is de benadering voor andere functies in bepaalde zin met deze keuze optimaal.

De benaderende polynoom wordt geschreven als een lineaire combinatie van polynomen uit een rij orthogonale polynomen ${\displaystyle P_{0},P_{1},\ldots P_{n},\ldots }$, met ${\displaystyle P_{k}}$ van de graad ${\displaystyle k}$, en orthogonaliteit met betrekking tot het inproduct

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,{\rm {d}}x}$

Voor de polynomen geldt dan:

${\displaystyle \langle P_{k},P_{m}\rangle =\delta _{km}}$, d.w.z. 0 voor ${\displaystyle k\neq m}$ en 1 voor ${\displaystyle k=m}$

Omdat ${\displaystyle P_{0}(x)=c}$ en ${\displaystyle \langle P_{0},P_{0}\rangle =c^{2}(b-a)=1}$, is

${\displaystyle P_{0}(x)=c={\frac {1}{\sqrt {b-a}}}}$

en

${\displaystyle \langle P_{0},P_{m}\rangle =0}$ voor ${\displaystyle m>0}$

Dus is ook voor ${\displaystyle m>0}$:

${\displaystyle \int _{a}^{b}P_{m}(x)\,{\rm {d}}x=0}$

Door deze eisen zijn de polynomen vastgelegd.

Elke polynoom ${\displaystyle P}$ van de graad ${\displaystyle n}$ is een lineaire combinatie van de polynomen ${\displaystyle P_{0},P_{1},\ldots ,P_{n}}$:

${\displaystyle P(x)=\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}\,P_{k}(x)}$

waarin

${\displaystyle \alpha _{k}=\langle P,P_{k}\rangle }$

immers:

${\displaystyle \langle P,P_{k}\rangle =\left\langle \sum _{m=0}^{n}\alpha _{m}\,P_{m},P_{k}\right\rangle =\sum _{m=0}^{n}\alpha _{m}\,\langle P_{m},P_{k}\rangle =\sum _{m=0}^{n}\alpha _{m}\,\delta _{mk}=\alpha _{k}}$

Er blijft dus nog de gewichten ${\displaystyle w_{k}}$ en steunpunten ${\displaystyle x_{k}}$ te bepalen zo, dat voor ${\displaystyle m=0,\ldots ,n}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}w_{k}P_{m}(x_{k})=\int _{a}^{b}P_{m}(x)\,{\rm {d}}x=\delta _{m0}\,{\sqrt {b-a}}}$

Voor het steunpunt ${\displaystyle x_{k}}$ neemt men de ${\displaystyle k}$-de wortel van ${\displaystyle P_{n}}$, dan ontstaat voor de gewichten een stelsel van ${\displaystyle n}$ lineaire vergelijkingen (van de ${\displaystyle n+1}$ vergelijkingen is die voor ${\displaystyle m=n}$ triviaal).

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}w_{k}P_{m}(x_{k})=0}$ voor ${\displaystyle m=1,\ldots ,n-1}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}w_{k}=b-a}$

De vergelijkingen kunnen omgevormd worden tot het stelsel:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}w_{k}x_{k}^{m}=\int _{a}^{b}x^{m}\,{\rm {d}}x={\tfrac {1}{m+1}}(b^{m+1}-a^{m+1})}$ voor ${\displaystyle m=0,\ldots n-1}$

Voor de zo bepaalde steunpunten en gewichten geldt nu dat inderdaad:

${\displaystyle \int _{a}^{b}P(x)\,{\rm {d}}x=\int _{a}^{b}\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}\,P_{k}(x)\,{\rm {d}}x=\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}\,\int _{a}^{b}P_{k}(x)\,{\rm {d}}x=}$

${\displaystyle =\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}\,\sum _{i=1}^{n}w_{i}P_{k}(x_{i})=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\,\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}P_{k}(x_{i})=\sum _{i=1}^{n}w_{i}P(x_{i})}$

De integraal van de functie ${\displaystyle f}$ met gewichtsfunctie ${\displaystyle w}$ wordt door de kwadratuurformule als volgt benaderd:

${\displaystyle \int _{a}^{b}w(x)f(x)\,{\rm {d}}x\approx \sum _{k=1}^{n}{\frac {c_{n}/c_{n-1}}{P_{n}'(x_{k})P_{n-1}(x_{k})}}f(x_{k})}$

Daarin

• is ${\displaystyle P_{n}(x)}$ een polynoom van de graad ${\displaystyle n}$ en vormen de polynomen ${\displaystyle P_{n}}$ een voor de integraal orthonormaal stelsel, dus:

${\displaystyle \int _{a}^{b}w(x)P_{n}(x)P_{m}(x)\,{\rm {d}}x=\delta _{nm}}$

• zijn ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ de nulpunten van ${\displaystyle P_{n}(x)}$
• is ${\displaystyle c_{m}}$ de coëfficiënt van ${\displaystyle x^{m}}$ in ${\displaystyle P_{m}(x)}$
• stelt ${\displaystyle P'_{n}(x)}$ de afgeleide van ${\displaystyle P_{n}(x)}$ voor
• is ${\displaystyle \delta _{nm}}$ de kroneckerdelta, dus 1 als ${\displaystyle n=m}$ en 0 als ${\displaystyle n\neq m}$

Tabel

Integratiegrenzen		gewichtsfunctie	polynomen
${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle w(x)}$	${\displaystyle R_{n}(x)}$
${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	Legendre-polynoom
${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle (x-a)^{p}(b-x)^{q}}$	Jacobi-polynoom
${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$	Chebyshev-polynoom eerste soort
${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}}$	Chebyshev-polynoom tweede soort
${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle \exp(-x^{2})}$	Hermite-polynoom
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle \exp(-x)}$	laguerrepolynoom
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle x^{p}\exp(-x)}$	geassocieerd laguerrepolynoom

De coëfficiënten van de polynomen en van hun afgeleiden zijn evenals hun nulpunten in een tabel te vinden.

Op het interval ${\displaystyle [-1,\,1]}$ vormen de Legrendre-polynomen een orthogonaal stelsel. Voor ${\displaystyle n=4}$ is de genormeerde versie

${\displaystyle P_{4}(x)={\tfrac {1}{8}}{\sqrt {\tfrac {9}{2}}}(35x^{4}-30x^{2}+3)}$

Deze polynoom is kwadratisch in ${\displaystyle x^{2}}$, dus zijn de nulpunten van de vorm

${\displaystyle x^{2}={\frac {30\pm 4{\sqrt {30}}}{70}}}$,

dus

${\displaystyle x_{4}=-x_{1}={\sqrt {{\tfrac {3}{7}}+{\tfrac {4}{7}}{\sqrt {\tfrac {3}{10}}}}}}$

${\displaystyle x_{3}=-x_{2}={\sqrt {{\tfrac {3}{7}}-{\tfrac {4}{7}}{\sqrt {\tfrac {3}{10}}}}}}$

De vergelijkingen voor de gewichtsfactoren zijn:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{4}w_{k}=2}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{4}w_{k}x_{k}=\sum _{k=1}^{4}w_{k}x_{k}^{3}=0}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{4}w_{k}x_{k}^{2}={\tfrac {2}{3}}}$,

waaruit volgt

${\displaystyle w_{1}=w_{4}}$ en ${\displaystyle w_{2}=w_{3}}$

${\displaystyle w_{1}+w_{2}=1}$

${\displaystyle w_{1}x_{1}^{2}+(1-w_{1})x_{2}^{2}={\tfrac {1}{3}}}$

Dus is

${\displaystyle w_{1}={\frac {{\tfrac {1}{3}}-x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}}={\frac {{\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {3}{7}}+{\tfrac {4}{7}}{\sqrt {\tfrac {3}{10}}}}{{\tfrac {8}{7}}{\sqrt {\tfrac {3}{10}}}}}={\tfrac {1}{2}}+({\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {3}{7}}){\tfrac {7}{8}}{\sqrt {\tfrac {10}{3}}}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {\tfrac {5}{6}}}}$

zodat

${\displaystyle w_{1}=w_{4}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {\tfrac {5}{6}}}\quad }$ en ${\displaystyle \quad w_{2}=w_{3}={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {\tfrac {5}{6}}}}$

Als benadering voor de integraal

${\displaystyle I=\int _{-1}^{1}\cos({\tfrac {\pi }{2}}x)\,{\rm {d}}x={\frac {4}{\pi }}=1{,}2732395\ldots }$

geeft Gauss-kwadratuur:

${\displaystyle I\approx \sum w_{k}\cos({\tfrac {\pi }{2}}x_{k})=1{,}2732295\ldots }$

De gewichtsfactoren kunnen ook met de genoemde formule berekend worden:

${\displaystyle w_{1}={\frac {c_{4}/c_{3}}{P_{4}'(x_{1})P_{3}(x_{1})}}}$

Nu is

${\displaystyle P_{4}'(x_{1})/c_{4}=4x_{1}^{3}-{\tfrac {12}{7}}x_{1}}$

en

${\displaystyle P_{3}(x)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\tfrac {7}{2}}}(5x^{3}-3x)}$

dus

${\displaystyle c_{3}={\tfrac {5}{2}}{\sqrt {\tfrac {7}{2}}}}$

en

${\displaystyle c_{3}P_{3}(x_{1})={\tfrac {35}{8}}(5x_{1}^{3}-3x_{1})}$.

Invullen levert:

${\displaystyle w_{1}={\frac {1}{(4x_{1}^{3}-{\tfrac {12}{7}}x_{1})({\tfrac {35}{8}}(5x_{1}^{3}-3x_{1}))}}=}$

${\displaystyle ={\frac {2}{5(7x_{1}^{3}-3x_{1})(5x_{1}^{3}-3x_{1})}}=}$

${\displaystyle ={\frac {2}{5(35x_{1}^{6}-36x_{1}^{4}+9x_{1}^{2})}}}$

Omdat ${\displaystyle x_{1}}$ een nulpunt is van ${\displaystyle P_{4}}$, is ${\displaystyle 35x_{1}^{4}=30x_{1}^{2}-3}$, met als gevolg:

${\displaystyle w_{1}={\frac {2}{5(x_{1}^{2}(30x_{1}^{2}-3)-36x_{1}^{4}+9x_{1}^{2})}}=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{15x1^{2}(1-x_{1}^{2})}}=}$

${\displaystyle ={\frac {49}{6(30+4{\sqrt {30}})(10-{\sqrt {30}})}}=}$

${\displaystyle ={\frac {49}{6(18+{\sqrt {30}})}}=}$

${\displaystyle ={\frac {49}{6(18^{2}-30)}}(18-{\sqrt {30}})=}$

${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {\tfrac {5}{6}}}}$

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], Gauss quadrature formula, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
• Legendre-Gausskwadratuur in MathWorld