Kruskal-Wallistoets

Gegeven zijn m onderling onafhankelijke aselecte steekproeven uit continue verdelingen. De ${\displaystyle j}$ -de waarneming in de ${\displaystyle i}$ -de steekproef, die omvang ${\displaystyle n_{i}}$ heeft, is ${\displaystyle X_{ij}}$ . Het rangnummer hiervan in het totaal van de data is ${\displaystyle R_{ij}}$ . De toets verloopt verder in principe als een variantie-analyse uitgevoerd op deze rangnummers.

De toetsingsgrootheid ${\displaystyle K}$ is:

${\displaystyle K={\frac {12}{n(n+1)}}\sum _{i=1}^{m}n_{i}\left(R_{i\cdot }-{\frac {n+1}{2}}\right)^{2}={\frac {12}{n(n+1)}}\sum _{i=1}^{m}n_{i}R_{i\cdot }^{2}-3(n+1)}$ ,

waarin

${\displaystyle n=\sum _{i=1}^{m}n_{i}}$

het totaal aantal waarnemingen is en

${\displaystyle R_{i\cdot }={\frac {1}{n_{i}}}\sum _{j=1}^{n_{i}}R_{ij}}$

het gemiddelde rangnummer in de ${\displaystyle i}$ -de steekproef.

Merk op dat de toetsingsgrootheid ook met kwadratensommen geschreven kan worden als:

${\displaystyle K=(n-1){\frac {\sum _{i=1}^{m}n_{i}(R_{i\cdot }-R_{\cdot \cdot })^{2}}{\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n_{i}}(R_{ij}-R_{\cdot \cdot })^{2}}}}$ ,

waaruit de bovenstaande formule volgt door de substituties:

${\displaystyle R_{\cdot \cdot }=(n+1)/2}$

en

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n_{i}}(R_{ij}-R_{\cdot \cdot })^{2}=(n-1)n(n+1)/12}$ .

Als de steekproeven niet te klein van omvang zijn, is ${\displaystyle K}$ onder de nulhypothese bij benadering chi-kwadraatverdeeld met ${\displaystyle m}$ vrijheidsgraden.

• Wilcoxon