Kleine stelling van Fermat

${\displaystyle a,p\in \mathbb {Z} }$ en p is een priemgetal.

• ${\displaystyle a\mod {p}}$ is de rest bij geheeltallige deling van a door p
• ${\displaystyle p|a}$ "p deelt a"; dit wil zeggen dat ${\displaystyle a\equiv 0\mod {p}}$, oftewel dat a een veelvoud is van p
• ${\displaystyle p\not |a}$ "p deelt a niet"; dit wil zeggen dat ${\displaystyle a\not \equiv 0\mod {p}}$, oftewel dat a geen veelvoud is van p
• ${\displaystyle a+k*p}$ wil zeggen "a plus of min een veelvoud van p"

Om de kleine stelling te bewijzen, maken we gebruik van een hulpstelling:

• Zij ${\displaystyle p\not |a}$, dan ${\displaystyle a*m\equiv a*n{\pmod {p}}\Rightarrow m\equiv n{\pmod {p}}}$
  • Bewijs:

Stel ${\displaystyle p\not |a}$ en ${\displaystyle a*m\equiv a*n{\pmod {p}}}$

Dan geldt dus ${\displaystyle a*m-a*n\equiv 0{\pmod {p}}}$, dus ${\displaystyle a*(m-n)\equiv 0{\pmod {p}}}$, dus ${\displaystyle p|a(m-n)}$.

a is geen veelvoud van p en p is een priemgetal, dus p is ook geen veelvoud van a.

Dus moet gelden ${\displaystyle m-n\equiv 0{\pmod {p}}}$, oftewel het verschil tussen m en n is een veelvoud van p.

Oftewel m is n plus of min een veelvoud van p.

${\displaystyle m\equiv n{\pmod {p}}}$

Merk op dat uit de hulpstelling logisch volgt dat ook geldt:

• Indien${\displaystyle p\not |a}$, dan ${\displaystyle m\not \equiv n{\pmod {p}}\Rightarrow a*m\not \equiv a*n{\pmod {p}}}$

Bewijs voor de kleine stelling:

• Zij p priem en ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$; er zijn nu twee gevallen:
  1. ${\displaystyle p|a}$: in dit geval is a een veelvoud van p en ieder veelvoud van a dus ook, dus triviaal geldt ${\displaystyle a^{p}\equiv a{\pmod {p}}}$
  2. ${\displaystyle p\not |a}$: Beschouw nu alle getallen ${\displaystyle 1,2,\ldots ,p-1}$.

Deze p-1 getallen delen allemaal p niet en zijn ongelijk aan p (dus ook modulo p).

Ook geldt, wegens ${\displaystyle p\not |a}$, dat het product van een van deze getallen met a, modulo p, weer gelijk aan een van deze getallen (dit volgt uit het feit dat p een priemgetal is; voor priemgetallen p geldt: als ${\displaystyle p|ab}$, dan ${\displaystyle p|a\lor p|b}$; de omkering hiervan levert op dat ${\displaystyle p\not |a\land p\not |b\Rightarrow p\not |ab\Rightarrow ab\not =0{\pmod {p}}}$ ${\displaystyle \Rightarrow ab\in \{1,2,\ldots ,p-1\}{\pmod {p}}}$).

Daarnaast volgt uit de omkering van de hulpstelling dat voor ${\displaystyle x,y\in \{1,2,\ldots ,p-1\}}$ geldt dat ${\displaystyle x\not \equiv y{\pmod {p}}\Rightarrow a*x\not \equiv a*y{\pmod {p}}}$. Dit impliceert dat de getallen ${\displaystyle a*1,a*2,\ldots ,a*(p-1)}$ modulo p een permutatie vormen van de getallen ${\displaystyle 1,2,\ldots ,p-1}$. Hieruit volgt uiteindelijk dat de vermenigvuldiging ${\displaystyle (1*a)*(2*a)*\ldots *((p-1)*a)}$ modulo p hetzelfde oplevert als ${\displaystyle 1*2*\ldots *(p-1)}$:

${\displaystyle 1*2*\ldots *(p-1)*a^{p-1}\equiv 1*2*\ldots *(p-1){\pmod {p}}}$

het zijn tenslotte al dezelfde getallen, met elkaar vermenigvuldigd (zij het niet in dezelfde volgorde).

Door onze hulpstelling volgt nu onmiddellijk: ${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}$

Vermenigvuldig nu beide zijden met a: ${\displaystyle a^{p}\equiv a{\pmod {p}}}$

Het omgekeerde van de kleine stelling van Fermat is niet algemeen geldig. Als voor zekere gehele a en k geldt dat

${\displaystyle a^{k}\equiv a\mod {k}}$,

dan is niet noodzakelijkerwijs k een priemgetal.

Een getal q dat geen priemgetal is, maar waarvoor geldt dat

${\displaystyle a^{q}\equiv a\mod {q}}$

voor zekere a wordt een pseudopriemgetal genoemd. Als q de eigenschap heeft dat het bovengenoemde geldt voor elke a, dan heet q een Carmichael-getal. Hierbij is de naam Fermattest bedacht: als een getal r voldoet aan

${\displaystyle a^{r}\equiv a\mod {r}}$

voor zekere a dan is r een priemgetal of een pseudo-priemgetal.

Er is bewezen dat er oneindig veel pseudo-priemgetallen bestaan. Echter, binnen de gehele getallen zijn de pseudo-priemgetallen wel 'dunner gezaaid' dan de priemgetallen.

De kleine stelling van Fermat mag niet worden verward met de laatste stelling van Fermat, die zegt dat de vergelijking ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$ geen geheeltallige oplossing heeft verschillend van 0 voor alle gehele waarden van n groter dan 2. Het theorema werd uiteindelijk bewezen door de Britse wiskundige Andrew Wiles in november 1994.

• M.C. van Hoorn, college over kleine stelling van Fermat aan de RUG