Kansgenererende functie

De kansgenererende functie genereert inderdaad de kansen:

${\displaystyle P(N=n)={\frac {G_{N}^{(n)}(0)}{n!}}.}$

Omdat de kansgenererende functie eenduidig met de kansen verbonden is, hebben twee stochastische variabelen dezelfde verdeling als hun kansgenererende functies gelijk zijn.

Tussen de kansgenererende functie en de momentgenererende functie bestaat de volgende relatie:

${\displaystyle G_{N}(e^{t})=M_{N}(t).\,}$

De kansgenererende functie van de som X + Y van twee onderling onafhankelijke stochastische variabelen is het product van de beide afzonderlijke kansgenererende functies, immers:

${\displaystyle G_{X+Y}(z)=\operatorname {E} (z^{X+Y})=\operatorname {E} (z^{X})\operatorname {E} (z^{Y})=G_{X}(z)G_{Y}(z)\,.}$

De kansgenererende functie van een in het punt k ontaarde verdeling, waarvoor dus P(N = k) = 1, is

${\displaystyle G(x)=z^{k}.\,}$

De kansgenererende functie van de Bernoulli-verdeling met parameter p, is

${\displaystyle G(z)=(1-p)+pz.\,}$

De kansgenererende functie van de binomiale verdeling met parameters n en p, is

${\displaystyle G(z)=\left((1-p)+pz\right)^{n}.}$

Merk op dat dit de n-de macht is van de kansgenererende functie van de Bernoulli-verdeling, in overeenstemming met een van de bovengenoemde eigenschappen.

De kansgenererende functie van de geometrische verdeling met parameter p, is

${\displaystyle G(z)={\frac {pz}{1-(1-p)z}}.}$

De kansgenererende functie van de negatief-binomiale verdeling met parameters m en p, is

${\displaystyle G(z)=\left({\frac {pz}{1-(1-p)z}}\right)^{m}.}$

Merk op dat dit de m-de macht is van de kansgenererende functie van de geometrische verdeling, in overeenstemming met een van de bovengenoemde eigenschappen.

De kansgenererende functie van de Poisson-verdeling met parameter μ, is

${\displaystyle G(z)=e^{\mu (z-1)}.\,}$