Intuïtionisme

Grondvestend principe in het intuïtionisme is de menselijke ervaring van tijd. Hieruit volgt onder andere dat wiskundige objecten in de loop van de tijd worden geconstrueerd (in de menselijke geest). De tijd wordt hierbij gezien als een stap-voor-stapproces: 0, 1, 2, ...enzovoorts. De natuurlijke getallen (0, 1, 2, ...) kunnen op deze manier in gedachten geconstrueerd worden. Ook de verzameling van de natuurlijke getallen ${\displaystyle \mathbb {N} }$ kunnen geconstrueerd worden, alleen is de constructie nooit klaar. Deze visie van potentieel oneindig contrasteert met het klassieke oneindigheidsbegrip. In de klassieke wiskunde gaat men ervan uit dat ook oneindige verzamelingen zoals ${\displaystyle \mathbb {N} }$ in één keer overzien kunnen worden.

In het intuïtionisme bestaan wiskundige objecten alleen als ze in de loop van de tijd geconstrueerd kunnen worden en het enige geldige bewijs van bestaan is een recept voor een dergelijke constructie. Dat wil zeggen, het intuïtionisme verwerpt de bewijsmethode van het bewijs uit het ongerijmde: indien aangenomen wordt dat iets niet bestaat en daaruit een tegenspraak afleidt, geldt dat niet als een bewijs dat het bestaat. Immers, uit de tegenspraak volgt nog geen recept voor constructie.

Een mooi voorbeeld hiervan is Brouwers beroemde dekpuntstelling uit de klassieke topologie. Bewezen kan worden dat het onmogelijk is om onder de voorwaarden van de stelling altijd een constructie van een vast punt te leveren. Hiermee is Brouwers dekpuntstelling intuïtionistisch niet bewijsbaar. Brouwer gaf wel intuïtionistische alternatieven voor zijn klassieke stelling.

In de intuïtionistische formele logica, die contrasteert met de klassieke logica, is derhalve de regel van de uitgesloten derde (voor elke uitspraak P geldt: P is waar OF 'niet P ' is waar) niet geldig. Deze regel, die sinds de klassieke oudheid in de wiskunde is toegepast, werd door Brouwer bestreden. De eerste formalisering van het intuïtionisme werd voltooid in 1928 door Arend Heyting. Brouwer zelf was niet onder de indruk; hij noemde Heytings werk een steriele exercitie.[1]

Intuïtionistische formele logica wordt veel gebruikt in de informatica. Een van de redenen hiervoor is dat algoritmische berekenbaarheid van wiskundige entiteiten samenhangt met een bewijs van bestaan in de intuïtionistische logica. Een andere reden is dat correctheidsbewijzen van algoritmen makkelijker verlopen via intuïtionistische logica.

Het blijkt mogelijk te zijn om een volwaardige wiskunde op te bouwen uitgaande van de intuïtionistische axioma's. Het enige intuïtionistische axioma dat niet in overeenstemming is met de klassieke wiskunde is het zogenaamde continuïteitsprincipe (CP).

Vanwege de opmars van de computer is de interesse in constructieve wiskunde (waar intuïtionisme grotendeels toe gerekend wordt) de laatste decennia sterk toegenomen. Er is meer interesse in de principiële berekenbaarheid van wiskundige entiteiten en de constructieve wiskunde biedt hiervoor een passend kader.

Veel van de klassieke wiskunde is niet-constructief. Soms is dit essentieel, zoals wanneer de betreffende stelling intuïtionistisch onwaar is, soms is er een constructieve herformulering van de betreffende stelling mogelijk.

• Constructivisme (wiskunde)
• Formalisme (wiskunde)
• Filosofie van de wiskunde
• Grondslagen van de wiskunde
• Wiskundige logica
• Modeltheorie

• Biografie van Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966) over de oorsprong van zijn intuïtionisme en de revolutie in de grondslagen van de wiskunde.