Inkomtijd

Zij ${\displaystyle \{X_{n}|n=0,1,\ldots \}}$ een stochastisch proces met discrete tijdstippen (hier geïndexeerd met de natuurlijke getallen) dat waarden aanneemt in de reële getallen.

Definieer de stochastische variabele N₀ als het eerste tijdstip waarop het proces de waarde 0 aanneemt:

${\displaystyle N_{0}=\min\{n\in N|X_{n}=0\}}$

Dan noemt men N₀ de inkomtijd van het proces in het singleton ${\displaystyle \{0\}.}$

Zij

${\displaystyle \left((\Omega ,{\mathcal {A}},P),({\mathcal {A}}_{t}|t\geq 0),(X_{t}|t\geq 0),(E,{\mathcal {E}})\right)}$

een stochastisch proces met waarden in een Poolse ruimte E. Zij A een willekeurige deelverzameling van E.

De (eerste) inkomtijd van het proces in de verzameling A wordt gedefinieerd door

${\displaystyle T_{A}^{0}=\inf\{t\geq 0|X_{t}\in A\}}$

Hiermee nauw verwant is het begrip 'hitting time' (aanslagtijd):

${\displaystyle T_{A}=\inf\{t>0|X_{t}\in A\}}$

Hierbij wordt afgesproken dat het infimum van een lege verzameling niet-negatieve getallen gelijk is aan ${\displaystyle +\infty .}$

Als A een meetbare verzameling is van de Borelstam ${\displaystyle {\mathcal {E}},}$ dan zijn T_A⁰ en T_A stochastische veranderlijken ten opzichte van ${\displaystyle ({\mathcal {A}}_{t}|t\geq 0).}$

Als A een open deelverzameling is van E, en de paden ${\displaystyle t\mapsto X_{t}}$ van het proces zijn rechtscontinu, dan zijn T_A⁰ en T_A gelijk, en deze veranderlijke vormt een stoptijd ten opzichte van ${\displaystyle ({\mathcal {A}}_{t}|t\geq 0).}$[1]

1. Bauer, Heinz, "Probability Theory," de Gruyter Studies in Mathematics 23, Walter de Gruyter 1996