Hessenbergmatrix

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&4&2&3\\3&4&1&7\\0&2&3&4\\0&0&1&3\\\end{bmatrix}}}$

is een boven-hessenbergmatrix;

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&0&0\\5&2&3&0\\3&4&3&7\\5&6&1&1\\\end{bmatrix}}}$

is een beneden-hessenbergmatrix.

De getransponeerde matrix van een beneden-hessenbergmatrix is een boven-hessenbergmatrix en vice versa.

Het matrixproduct van een hessenbergmatrix met een driehoeksmatrix is ook een hessenbergmatrix: als ${\displaystyle A}$ een boven-Hessenbergmatrix is en ${\displaystyle T}$ een bovendriehoeksmatrix, dan zijn ${\displaystyle AT}$ en ${\displaystyle TA}$ boven-hessenbergmatrices.

Een tridiagonale matrix is een matrix die zowel een boven- als een beneden-hessenbergmatrix is.

Hessenbergmatrices spelen met name een rol bij de berekening van de eigenwaarden en eigenvectoren van een matrix. Hessenberg introduceerde de naar hem gemoemde matrices in 1940 in een rapport van het Institut für Praktische Mathematik te Darmstadt, getiteld "Behandlung linearer Eigenwertaufgaben mit Hilfe der Hamilton-Cayleyschen Gleichung". Zijn methode werd later gegeneraliseerd door James Hardy Wilkinson in diens boek "The Algebraic Eigenvalue Problem" uit 1965.

In het "QZ-algoritme" van Moler en Stewart[1] voor de oplossing van algemene eigenwaardeproblemen ${\displaystyle Ax=\lambda Bx}$, met ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ algemene vierkante matrices, wordt in een eerste stap ${\displaystyle A}$ herleid tot een boven-hessenbergmatrix en ${\displaystyle B}$ tot een bovendriehoeksmatrix door orthogonale transformaties.[2]