Heegner-getal

In de algebraïsche getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een Heegner-getal een positief, kwadraatvrij geheel getal $d$ , zodanig dat het imaginaire kwadratische veld $\mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})$ een klassegetal van 1 heeft. Equivalent daarmee is dat de ring van de gehele getallen van $\mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})$ een uniek factorisatiedomein heeft.[1]

De bepaling van zulke getallen is een speciaal geval van het klassegetalprobleem. De Heegner-getallen liggen ten grondslag aan diverse opvallende resultaten in de getaltheorie.

Volgens de stelling van Stark-Heegner bestaan er precies negen Heegner-getallen:

1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163.

Dit resultaat werd reeds vermoed door Gauss en werd in 1952 bewezen door Kurt Heegner.

Eulers priemgetal-genererende veelterm

n^{2}+n+41,\,

die (verschillende) priemgetallen geeft voor n = 0, ...,39, is gerelateerd aan het Heegner-getal 163 = 4 · 41 - 1.

Rabinowitz[2] bewees dat

n^{2}+n+p\,

priemgetallen geeft voor $n=0,\dots ,p-2$ dan en slechts dan als de discriminant $1-4p$ gelijk is aan minus een Heegner-getal.

(Merk op dat $p-1$ hier $p^{2}$ oplevert en dat $p-2$ dus maximaal is.) 1, 2 en 3 zijn niet van de vereiste vorm. De Heegner-getallen die werken zijn $7,11,19,43,67,163$ , wat priemgetal-genererende functies van Euler-vorm geeft voor $2,3,5,11,17,41$ ; deze laatste nummers worden door F. Le Lionnais geluksgetallen van Euler genoemd.[3].

Voetnoten

(en) Conway, John Horton; Guy, Richard K., The Book of Number (Het boek van de getallen (1996), p. 224. ISBN 038797993X.
(de) Rabinowitz, G. "Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern." Proc. Fifth Internat. Congres Math. (Cambridge) 1, 418-421, 1913.
(fr) Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, blz. 88 en 144, 1983

Externe links

(en) Heegner-getal op MathWorld
(en) Gauss zijn klassegetal probleem voor imaginaire kwadratische velden door Dorian Goldfeld: Gedetailleerde geschiedenis van het probleem.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] (en) Conway, John Horton; Guy, Richard K., The Book of Number (Het boek van de getallen (1996), p. 224. ISBN 038797993X.

[2] (de) Rabinowitz, G. "Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern." Proc. Fifth Internat. Congres Math. (Cambridge) 1, 418-421, 1913.

[3] (fr) Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, blz. 88 en 144, 1983