Gelijkheid van Parseval

Laat ${\displaystyle V}$ een lineaire ruimte met inproduct ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ zijn en ${\displaystyle B}$ een orthonormale basis daarin, dan geldt voor elke ${\displaystyle v\in V}$ de gelijkheid van Parseval:

${\displaystyle \|v\|^{2}=\langle v,v\rangle =\sum _{b\in B}|\langle v,b\rangle |^{2}}$

Omgekeerd geldt dat een willekeurig orthonormaal stelsel slechts dan een basis is, als de gelijkheid van Parseval geldt.

De gelijkheid van Parseval is geldig voor kwadratisch integreerbare functies. Voor de Fourierreeks

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{inx}}$

met coëfficiënten

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}\,\mathrm {d} x}$

luidt de gelijkheid van Parseval:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x)|^{2}\,\mathrm {d} x=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}}$

waarbij het linkerlid ook de energie van de functie f(x) genoemd wordt.

• Energiesignaal