Frobenius-inproduct

In de lineaire algebra is het frobenius-inproduct een inproduct op de vectorruimte van de eindigdimensionale reële of complexe matrices dat gedefinieerd is als het gewone inproduct voor vectoren waarbij de matrices gezien worden als een rij van hun elementen. Het frobenius-inproduct wordt dus berekend als de som van de producten van in het reële geval de overeenkomstige elementen van de beide matrices, en in het complexe geval van de elementen van de ene matrix en de complex geconjugeerde van het overeenkomstige element van de andere matrix. Het frobenius-inproduct kan ook worden berekend als het spoor van het product van de ene matrix en de getransponeerde van de andere matrix. Het inproduct is genoemd naar de Duitse wiskundige Ferdinand Georg Frobenius.

Met het frobenius-inproduct wordt de bedoelde ruimte van matrices een inproductruimte. De door het inproduct geïnduceerde norm wordt frobeniusnorm of schurnorm genoemd. Een generalisatie van het frobenius-inproduct voor oneindigdimensionale vectorruimten is het Hilbert-Schmidt-inproduct. Het frobenius-inproduct wordt onder meer gebruikt in de continuummechanica voor het beschrijven van de vervorming van vectorvelden met behulp van tensoren.

Definitie

Het frobenius-inproduct van twee reële of complexe $n\times m$ -matrices $A=(a_{ij})$ en $B=(b_{ij})$ is gedefinieerd als:

\langle A,B\rangle _{F}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}{\overline {a}}_{ij}b_{ij}

.

In een alternatieve vorm van het inproduct worden de elementen van de tweede matrix geconjugeerd en niet van de eerste.

In de natuurkunde wordt het frobenius-inproduct van twee matrices $A$ en $B$ ook genoteerd als $A\ \colon B$ .

Spoor

In het geval van reële matrices is het frobenius-inproduct gelijk aan het spoor van het product van de getransponeerde van de ene matrix met de andere:

\langle A,B\rangle _{F}=\mathrm {sp} (A^{T}B)=\mathrm {sp} (BA^{T})

,

In het geval van complexe matrices moet niet de getransponeerde genomen worden, maar de geadjungeerde matrix:

\langle A,B\rangle _{F}=\mathrm {sp} (A^{*}B)=\mathrm {sp} (BA^{*})

,

Verschuivingseigenschap

In het geval van reële matrices geldt, als de betrokken producten gedefinieerd zijn:

\langle AB,C\rangle _{F}=\langle B,A^{T}C\rangle _{F}=\langle A,CB^{T}\rangle _{F}

In het geval van complexe matrices geldt overeenkomstig:

\langle AB,C\rangle _{F}=\langle B,A^{*}C\rangle _{F}=\langle A,CB^{*}\rangle _{F}

Frobeniusnorm

Het frobenius-inproduct induceert de zogeheten frobeniusnorm:

\|A\|_{F}={\sqrt {\langle A,A\rangle _{F}}}

.

Literatuur

Roger A. Horn, Charles R. Johnson: Matrix Analysis. Cambridge University Press, 2012, ISBN 0-521-46713-6.
Roger A. Horn, Charles R. Johnson: Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-46713-6.

Externe link

pahio: Frobenius product, in: PlanetMath

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.