Enneper-oppervlak

In de differentiaalmeetkunde en de algebraïsche meetkunde, deelgebieden van de wiskunde, is het Enneper-oppervlak een oppervlak dat parametrisch als volgt kan worden beschreven

${\displaystyle x=u(1-u^{2}/3+v^{2})/3,\ }$

${\displaystyle y=-v(1-v^{2}/3+u^{2})/3,\ }$

${\displaystyle z=(u^{2}-v^{2})/3.\ }$

een Enneper-oppervlak

Het Enneper-oppervlak werd in verband met zijn minimaaloppervlak theorie geïntroduceerd door Alfred Enneper.

De impliciterings methoden van de algebraïsche meetkunde kunnen worden gebruikt om uit te vinden dat de punten in het hierboven gegeven Enneper-oppervlak voldoen aan de volgende vergelijking van de graad 9

${\displaystyle 64z^{9}-128z^{7}+64z^{5}-702x^{2}y^{2}z^{3}-18x^{2}y^{2}z+144(y^{2}z^{6}-x^{2}z^{6})\ }$

${\displaystyle {}+162(y^{4}z^{2}-x^{4}z^{2})+27(y^{6}-x^{6})+9(x^{4}z+y^{4}z)+48(x^{2}z^{3}+y^{2}z^{3})\ }$

${\displaystyle {}-432(x^{2}z^{5}+y^{2}z^{5})+81(x^{4}y^{2}-x^{2}y^{4})+240(y^{2}z^{4}-x^{2}z^{4})-135(x^{4}z^{3}+y^{4}z^{3})=0.\ }$

Duaal is het raakvlak op het punt met gegeven parameters gelijk aan ${\displaystyle a+bx+cy+dz=0,\ }$ waar

${\displaystyle a=-(u^{2}-v^{2})(1+u^{2}/3+v^{2}/3),\ }$

${\displaystyle b=6u,\ }$

${\displaystyle c=6v,\ }$

${\displaystyle d=-3(1-u^{2}-v^{2}).\ }$

Haar coëfficiënten voldoen aan de impliciete vergelijking

${\displaystyle 162a^{2}b^{2}c^{2}+6b^{2}c^{2}d^{2}-4(b^{6}+c^{6})+54(ab^{4}d-ac^{4}d)+81(a^{2}b^{4}+a^{2}c^{4})\ }$

${\displaystyle {}+4(b^{4}c^{2}+b^{2}c^{4})-3(b^{4}d^{2}+c^{4}d^{2})+36(ab^{2}d^{3}-ac^{2}d^{3})=0.\ }$

Het Enneper-oppervlak is een minimaaloppervlak. De Jacobiaan, de Gaussiaanse kromming en de gemiddelde kromming zijn

${\displaystyle J=(1+u^{2}+v^{2})^{4}/81,\ }$

${\displaystyle K=-(4/9)/J,\ }$

${\displaystyle H=0.\ }$