Elo-rating

Árpád Élő constateerde op grond van statistisch onderzoek dat de verdeling van speelsterktes van schaakspelers lijkt op een normaalverdeling. Aansluitend op het bestaande ratingsysteem van de USCF koos Élő voor een klasse-indeling van C = 200 punten. De klasse-indeling wordt gelijkgesteld aan de standaardafwijking σ van de spelerperformance. De standaardafwijking van een wedstrijd tussen twee spelers wordt: σ = 200√2. Op basis van deze verdeling legde hij een relatie tussen ratingverschil en winstkans. Deze relatie ziet er in tabelvorm zo uit:

De tabel is opgebouwd met 10/7 als benadering van √2. De door Elo ontworpen tabel (2.11 The Percentage Expectancy Table)[1]. wordt door de FIDE nog steeds gebruikt (tabel 8.1b)[6]. Stel dat het ratingverschil tussen twee spelers gelijk is aan 300. Delen door σ geeft een Z-score van 1,05. Volgens de cumulatieve normaalverdeling geeft dit een winstkans van 0,8531, afgerond 85%.

Om na een aantal gespeelde partijen de rating aan te passen wordt aan de hand van de winstverwachting de verwachte score berekend. Deze wordt vergeleken met de daadwerkelijke score. Met dit verschil wordt in een formule de toe-of afname van de rating bepaald. Men gebruikt doorgaans de volgende formule: EloWinst = K*(W-We) ,met W de uitslag van de partij, en We de verwachte score, vastgelegd volgens tabellen en formules. In België (en nog een aantal andere landen) telt deze formule pas vanaf 20 partijen. Daarvoor wordt een ander systeem gebruikt.

Voorbeeld

Vladimir Kramnik speelde mee in het Wereldkampioenschap schaken 2007 in Mexico. Zijn FIDE-rating voor het toernooi was 2769. De gemiddelde rating van zijn tegenstanders was 2749. Zijn winstkans was 0.528. Het toernooi ging over 14 partijen, zijn verwachte score was 7.39. Kramnik scoorde 8 punten. Zijn nieuwe rating wordt dan als volgt berekend:

Nieuwe rating(2775) = Oude rating(2769) + ( score(8) - verwachte score(7.39)) * K-factor(10)

De K-factor is een door de berekenende organisatie vastgestelde coëfficiënt die meestal afhangt van de rating en het aantal gespeelde partijen.

Implementatiedetails kunnen per bond verschillen. Zo is het ook mogelijk om ratingverschillen cumulatief per partij te berekenen, hetgeen een iets nauwkeuriger rating oplevert.

De Amerikaanse Schaakfederatie (United States Chess Federation) voerde in de jaren 50 een ratingsysteem in, ontworpen door Kenneth Harkness. Dit systeem voldeed niet helemaal. In 1960 ging de USCF over op het systeem van Elo, die overigens veel van dat van Harkness had overgenomen. In 1970 werd het overgenomen door de FIDE en sindsdien heeft vrijwel elke schaakbond het toegepast.

Wat schaken betreft wordt de feitelijke berekening op internationaal niveau uitgevoerd door de FIDE en de ICCF en op nationaal niveau door de landelijke schaakbond, in Nederland de KNSB en in België de KBSB. Elke organisatie die een rating berekent, gebruikt een andere verzameling spelers en partijen, en een andere ratingperiode. De FIDE-rating dient wat betreft de hoogte enigermate als ijkpunt. Daardoor zijn ze onderling tot op zekere hoogte vergelijkbaar. Wel zijn er verschillen in de exacte wijze waarop nieuwe uitslagen in de diverse ratings worden verwerkt.

Ook de Vlaamse Tafeltennisliga gebruikt het elo-systeem op haar resultatenwebsite - zij het louter indicatief.

Er is ook een Elo-wereldranglijst van landenteams in het voetbal.

Vaak wordt bij een toernooiuitslag voor elke deelnemer de toernooiprestatierating (TPR) vermeld, die aangeeft op welk ratingniveau deze heeft gepresteerd. De TPR wordt berekend uit de score en de gemiddelde rating van de tegenstanders.[6] [7]

De KNSB berekent een prestatiemeting, de Lijst Prestatie Meting[8], op basis van individuele uitslagen.

Een berekende ratingverandering kan worden gelimiteerd door de LPR.

Als er toernooiresultaten bekend zijn over een langere periode, dan kunnen relatieve ratings worden vastgesteld, ook als spelers niet tegen elkaar hebben gespeeld. Elo werkt dit uit (R5), op basis van de onderstaande kruistabel. De data bestaan uit 342 partijen gespeeld tussen 1846 en 1862.[9].

Voor het aanpassen van de relatieve rating van een speler hanteert Elo de volgende formule:

${\displaystyle R_{p}=R_{c}+D(P)\qquad (E1)}$

R_p is de eigen rating en R_c de gemiddelde rating van de tegenstanders, gewogen per gespeelde partij.

De relatieve rating wordt nu door successieve benaderingen berekend:

1. Wijs aan alle spelers één initiële rating R_i toe, groot genoeg om tijdens de iteratie positief te blijven.
2. Vind voor iedere speler de D(P) op basis van het werkelijke scoringspercentage P en de relatie tussen winstkans en ratingverschil.
3. Bereken vervolgens voor iedere speler de eerste correctie R₁ op basis van regel (E1), met R_c = R_i.
4. Bepaal vervolgens voor iedere speler het gewogen gemiddelde van de tegenstanderratings R_c1.
5. Bepaal de tweede benadering op basis van formule (E1), met R_c = R_c1.
6. Vervolg de berekening totdat de berekende ratings weinig veranderen.

Deze methode convergeert niet bijzonder snel.

Relatieve ratings gaan terug tot Thurstone (1927) [10], en Zermelo (1928) [11]. Een overzicht van de ontwikkelingen in dit gebied vindt men in[12].

${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},{\text{waarbij }}f(x)=We(x)-W}$

Verschillen tussen werkelijke score W, en verwachte score We kunnen getest worden, onder de aanname dat de verschillen |W - We| normaal verdeeld zijn:

1. percentage spelers met |W - We| ≤ 0,6745 * σ is groter dan 50% (8 spelers)
2. percentage spelers met |W - We| ≤ 1 * σ is groter dan 68,3% (11 spelers)
3. percentage spelers met |W - We| ≤ 2 * σ is groter dan 95,6% (16 spelers)

Als voorbeeld kiest Elo[15] de grootmeestergroep van het Hoogovens Schaaktoernooi, editie 1975.

De kolom Da is het verschil tussen de eigen rating en de gemiddelde rating van de groep, 2534 in dit voorbeeld. Het gemiddelde verschil |Da| van alle spelers is ongeveer gelijk aan Da = 61 ratingpunten. De daarbij behorende winstkans is P(Da) = 58%. Aannemende dat de score binomiaal verdeeld is, dan is de variantie gelijk aan 15 × 58% × (100% - 58%) = 3,56. De standaard afwijking σ = 1,91 is de wortel hieruit. De waarschijnlijke fout (PE) is gelijk aan 0,6745 * 1,91 = 1,29. Elo schat de PE op 1,27 op basis van het ratingverschil tussen Portisch en Popov. Statistisch verwachten we 8 verschillen |W - We| groter dan de waarschijnlijke fout. In werkelijkheid is dit aantal maar 5. We mogen verwachten dat 15 × (100% - 68%) = 5 uitslagen buiten de standaard afwijking vallen, maar dit aantal beperkt zich tot 2. Alle uitslagen vallen binnen 2 × σ. Hieruit concludeert Elo dat de scores van het toernooi ruim binnen de statistische toleranties vallen.

De werkwijze bevat een aantal vereenvoudigingen. Er wordt geen rekening gehouden met deonderlinge afhankelijkheden in de uitslagen. De verwachte score We en de standaard afwijking σ worden bepaald op basis van gemiddelden, in plaats van individuele wedstrijden.

In de beschouwing wordt uitgegaan van een binomiale verdeling, uitsluitend winst (1) en verlies (0) komen voor. In de schaakpraktijk is remise (½) geen uitzondering. Daardoor wordt de verdeling[16] vlakker. De binomiale variantie van een partij tussen even sterke spelers is per definitie gelijk aan: μ = (0 + 1)/2, en σ² = (1 - μ)²/2 + (0 - μ)²/2 = 1/4. Inclusief remise wordt dit: μ = (0 + ½ + 1)/3, en σ² = (1 - μ)²/3 + (½ - μ)²/3 + (0 - μ)²/3 = 1/6. Dit is een factor 2/3 kleiner.

• Chessgraphs.com - Compare chess players' rating histories with FIDE data back to 1970
• (en)Elo Rating System
• Chess Elo Rating in Simple
• Chessbase: Arpad Elo and the Elo Rating System