Stelling van Liouville

De functie ${\displaystyle f}$ kan worden ontwikkeld in een taylorreeks:

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}}$

De coëfficiënten ${\displaystyle a_{k}}$ zijn te vinden met een kringintegraal:

${\displaystyle {1 \over k!}f^{(k)}(0)=a_{k}={1 \over 2\pi }\oint _{\!\!\!C_{r}}{f(z) \over z^{k+1}}\,\mathrm {d} z}$

Hier is ${\displaystyle C_{r}}$ de cirkel rond 0 met straal ${\displaystyle r}$. De absolute waarde van de coëfficiënten kunnen afgeschat worden door:

${\displaystyle |a_{k}|\leq {1 \over 2\pi }\oint _{\!\!\!C_{r}}{|f(z)| \over |z|^{k+1}}\,\mathrm {d} z}$

Omdat ${\displaystyle f}$ begrensd is: ${\displaystyle |f(z)|\leq M}$ voor elke ${\displaystyle z}$, en ${\displaystyle |z|=r}$ op ${\displaystyle C_{r}}$, volgt:

${\displaystyle |a_{k}|\leq {1 \over 2\pi }{M \over r^{k+1}}{2\pi r}={M \over r^{k}}}$

Aangezien dit geldt voor elke cirkel ${\displaystyle C_{r}}$, ongeacht de straal, volgt automatisch dat ${\displaystyle a_{k}}$ gelijk moet zijn aan 0. De enige uitzondering is ${\displaystyle k=0}$ (${\displaystyle r^{0}=1}$) zodat ${\displaystyle a_{0}}$ de enige term is die overblijft uit de taylorreeks.

Zij ${\displaystyle f(z)}$ een gehele functie waarvoor geldt dat er een ${\displaystyle C>0}$ en ${\displaystyle R>0}$ bestaan waarvoor geldt dat ${\displaystyle |f(z)|<C|z|^{p}}$ als ${\displaystyle |z|>R}$, dan volgt daaruit op analoge manier als voorgaande stelling dat:

${\displaystyle f^{(n)}(0)\leq C{n! \over R^{n}}R^{p}}$

Zij nu ${\displaystyle n>p}$ en laat men ${\displaystyle R\to \infty }$ dan is ${\displaystyle f^{(n)}(0)=0}$. Waaruit volgt dat de taylorexpansie van ${\displaystyle f(z)}$ gelijk is aan:

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{p}a_{k}z^{k}}$

Met andere woorden de functie ${\displaystyle f(z)}$ is een polynoom van de graad ${\displaystyle p}$.