Effectieve rente

Ter illustratie enkele voorbeelden.

1. Als ik € 1000,– leen tegen een nominale jaarrente van 6%, maar ik spreek af dat die rente maandelijks voor een twaalfde deel verrekend wordt, is de rente effectief dus hoger dan 6%. Die 6% zou immers inhouden dat ik aan het eind van het jaar € 60,– verschuldigd ben, maar nu ben ik een deel al eerder aan de bank verschuldigd.

De effectieve-rentevoet kan berekend worden door pas aan het eind van het jaar een betaling aan de bank te doen en de maandelijks verschuldigde bedragen erbij te lenen tegen dezelfde condities. Na de eerste maand is het geleende bedrag al met € 5,– verhoogd (1/12 van 6% van € 1000,–) tot € 1005,–. Na de tweede maand komt daar weer 0,5% van € 1005,– bij, enzovoort. Aan het eind van het jaar is de schuld opgelopen tot € 1061,68. De effectieve rente is dus 6,168%.

2. Stel dat de bank voor het afsluiten van dezelfde lening ook nog eens € 10,– afsluitkosten rekent. Ik leen weliswaar € 1000,– maar ik krijg maar € 990,– in handen. Als ik na één jaar in één keer alles aflos, komen deze voorwaarden overeen met een lening van € 990,– en te betalen rente plus extra aflossing van € 61,68 + € 10,– , wat overeenkomt met een effectieve-rentevoet van 7,24%.

Er geldt een formule voor de effectieve rente gebaseerd op het aantal perioden waarover de renteverrekening verdeeld wordt (zie ook samengestelde interest). Deze formule houdt geen rekening met de invloed van transactiekosten op de effectieve rente:

${\displaystyle r_{\mathrm {eff} }=\left(1+{\frac {r_{\mathrm {nom} }}{n}}\right)^{n}-1}$

Hierin is r_eff de effectieve rente (geschreven als decimale breuk: 0,06168), r_nom de nominale rente (bijvoorbeeld 0,06), en n het aantal verrekeningsmomenten per jaar (in het bovenstaande voorbeeld 12).

De effectieve-rentevoet zal toenemen met het aantal deelperioden. Er is echter een grens aan de toename. Bij een zeer groot aantal deelperioden. of eigenlijk in de limiet naar een oneindig aantal deelperioden geldt:

${\displaystyle r_{\mathrm {eff} }=\mathrm {e} ^{r_{\mathrm {nom} }}-1}$

Daarin is e = 2,718… een wiskundige constante.

Bij een nominale rente van 6% geeft dit een effectieve rente van 6,184%.

Bij maandelijkse rentebetaling is het verschil tussen de effectieve rente en de nominale rente in eerste benadering (de eerstvolgende term in het binomium van Newton) 5,5 maanden rente over de rente, bijvoorbeeld bij een nominale rente van 4% is dit 11/24 maal 0,16%, dit is 22/300%, dus ongeveer 0,07%. De effectieve rente is dus ongeveer 4,07%. Het verschil loopt bij oplopende rente kwadratisch op, waardoor het bij 6% al meer dan tweemaal zoveel is, zie boven.

De bovengenoemde 5,5 maanden is het verschil tussen 6 maanden (gemiddelde uitstel van rentebetaling bij betaling per jaar achteraf, vergeleken met continu rente betalen) en 0,5 maanden (gemiddelde uitstel van rentebetaling bij betaling per maand achteraf, vergeleken met continu rente betalen), of anders berekend: het gemiddelde uitstel van rentebetaling bij betaling per jaar achteraf, vergeleken met rentebetaling per maand achteraf, namelijk het gemiddelde van 11, 10, .. , 0 maanden.

Vanaf 10% is de fout in deze benadering groter dan een basispunt.[3]

In het tweede voorbeeld zagen we dat transactiekosten gezien kunnen worden als een extra rentebetaling, en dat die de effectieve rente hoger maakt.

De effectieve rente kan met de volgende, zeer algemeen geldige, formule worden berekend:

${\displaystyle \sum _{m=1}^{M}S_{m}(1+r_{\mathrm {eff} })^{-t_{m}}=\sum _{n=1}^{N}A_{n}(1+r_{\mathrm {eff} })^{-t_{n}}}$

waarbij:

M het aantal betalingen van de uitlener is

m is het volgnummer van de betalingen van de uitlener,

S_m is de betaling met volgnummer m van de uitlener,

N is het aantal betalingen van de lener,

n is het volgnummer van de (terug)betalingen van de lener,

A_n is de betaling met volgnummer n van de lener

t_m en t_n is het interval, uitgedrukt in jaren en gedeelten daarvan tussen de datum van de eerste betaling en de datum van betaling m of n. (${\displaystyle t_{1}=0}$.),

r_eff is de effectieve rente.

In deze vergelijking stelt de linkerkant de actuele waarde van wat de uitlener betaalt voor. De rechterkant stelt de actuele waarde van wat de lener betaalt. In beide gevallen wordt de actuele waarde dus gedefinieerd op basis van de effectieve rente. In het kort: actuele waarde lening = actuele waarde rente en aflossing.

Zoals in deze formule te zien is, hangt de effectieve rente dus ook af van wanneer er hoeveel precies wordt afgelost. Als er bijvoorbeeld een hypotheek voor 30 jaar wordt afgesloten met 1% transactiekosten dan zal de effectieve rente hoger uitvallen als deze hypotheek al na 15 jaar wordt afgelost in plaats na 30 jaar.

In Nederland wordt bovenstaande formule onder andere gebruikt om de effectieve rente van een hypotheek te berekenen. Er wordt daarbij rekening gehouden met het feit dat er soms een restschuld is, dat een deel van de lening nog doorloopt na de laatste termijn met een nog onbekende rente. Bovendien is er doorgaans slechts één betaling van de uitlener aan de lener. In dat geval wordt bovenstaande formule:

${\displaystyle S-A=R(1+r_{\mathrm {eff} })^{-t_{N}}+\sum _{n=1}^{N}A_{n}(1+r_{\mathrm {eff} })^{-t_{n}}}$

waarbij:

S is het geleende bedrag,

A zijn de afsluitkosten aan het begin van de lening,

R is de restschuld.

Bovenstaande formules kunnen vereenvoudigd worden als de lengte van de periodes tussen de betalingen gelijk zijn. Dit is meestal het geval want doorgaans moet er maandelijks worden terugbetaald. In dat geval kunnen de sommaties weggewerkt worden met de formule voor de som van een meetkundige rij. Dit leidt meestal niet tot een formule waaruit de effectieve rente rechtstreeks berekend kan worden. Meestal zal de effectieve rente dus iteratief, bijvoorbeeld met de Newton-Raphson methode, berekend moeten worden. Met de eerste twee calculators hieronder kan zo de effectieve rente uitgerekend worden voor gevallen waarbij de periodes tussen de betalingen gelijk zijn.

• Berekeningen met de formule voor effectieve rente uit nominale rente kunnen verder gedaan worden met deze calculator.